Résolution d'inéquations - Tableaux de signes
Signe d'une expression du premier degré
Propriété
Soit a et b
deux nombres réels quelconques, avec a≠0, alors on a les signes
| x | −∞ | −ba | +∞ | ||
| ax + b | signe de −a | 0 | signe de a |
Exercice 1
Compléter les tableaux de signes suivant:
| x | −∞ | −12 | +∞ | ||
| 2x + 1 | 0 |
| x | −∞ | −85 | +∞ | ||
| −x − 8 | 0 |
Exercice 2
Dresser le tableau de signe de l'expression
3x − 7
Exercice 3
Dresser le tableau de signe de l'expression
−4x − 12
Méthode générale pour résoudre une inéquation
On se ramène à l'étude d'un signe, c'est-à-dire à une inéquation de la forme
A(x)≤0, ou A(x)<0,
ou A(x)≥0, ou A(x)>0,
en prenant garde à l'ordre (c'est-à-dire au sens de l'inéquation) à
chaque opération effectuée,
et avec A(x)
une expression algébrique ne contenant que des
produits et/ou quotients de termes du premier degré
(de la forme ax + b ).
On peut alors dresser un tableau de signes et appliquer la règle des signes pour les produits et quotients.
On peut alors dresser un tableau de signes et appliquer la règle des signes pour les produits et quotients.
Exemple:
Pour résoudre l'inéquation:
x(x + 2)≥ (2x + 1)(x + 2)
on transforme tout d'abord l'inéquation pour se ramener à une étude de signes de facteurs du premier degré:
x(x + 2)≥ (2x + 1)(x + 2)
⇔ x(x + 2) − (2x + 1)(x + 2)≥0
⇔ (x + 2) [x − (2x + 1)]≥0
⇔ (x + 2) (−x − 1)≥0
On peut alors dresser le tableau de signes de l'expression (x + 2)(−x − 1):
| x | −∞ | −2 | −1 | +∞ | |||
| x + 2 | − | 0 | + | | | + | ||
| −x − 1 | + | | | + | 0 | − | ||
| (x + 2) (−x − 1) | − | 0 | + | 0 | − |
On veut que ce produit soit positif ou nul; les solutions de l'inéquation sont donc:
S = [ − 2 ; −1 ]
Exercices
Exercice 4
Compléter le tableau de signes du produit
(2x + 1) (−3x + 4)
| x | −∞ | −12 | 43 | +∞ | |||
| 2x + 1 | 0 | | | |||||
| −3x + 4 | | | 0 | |||||
| (2x + 1) (−3x + 4) | 0 | 0 |
Exercice 5
Dresser le tableau de signes du produit
(2x − 6) (−x + 7)
Exercice 6
Résoudre l'inéquation:
2x − 3≥−x + 2 .
Exercice 7
Résoudre l'inéquation:
x(x + 2)≤(−2x + 5)(x + 2) .
Voir aussi: