Résolution d'inéquations - Tableaux de signes

Signe d'une expression du premier degré

Propriété

Soit a et b deux nombres réels quelconques, avec a≠0, alors on a les signes

x	−∞		−ba		+∞
ax + b		signe de −a	0	signe de a

Exercice 1

Compléter les tableaux de signes suivant:

x	−∞		−12		+∞
2x + 1			0

x	−∞		−85		+∞
−x − 8			0

Exercice 2

Dresser le tableau de signe de l'expression 3x − 7

Exercice 3

Dresser le tableau de signe de l'expression −4x − 12

Méthode générale pour résoudre une inéquation

On se ramène à l'étude d'un signe, c'est-à-dire à une inéquation de la forme A(x)≤0, ou A(x)<0, ou A(x)≥0, ou A(x)>0, en prenant garde à l'ordre (c'est-à-dire au sens de l'inéquation) à chaque opération effectuée, et avec A(x) une expression algébrique ne contenant que des produits et/ou quotients de termes du premier degré (de la forme ax + b ).

On peut alors dresser un tableau de signes et appliquer la règle des signes pour les produits et quotients.

Exemple:

Pour résoudre l'inéquation: x(x + 2)≥ (2x + 1)(x + 2)
on transforme tout d'abord l'inéquation pour se ramener à une étude de signes de facteurs du premier degré:

x(x + 2)≥ (2x + 1)(x + 2) ⇔ x(x + 2) − (2x + 1)(x + 2)≥0 ⇔ (x + 2) [x − (2x + 1)]≥0 ⇔ (x + 2) (−x − 1)≥0

On peut alors dresser le tableau de signes de l'expression (x + 2)(−x − 1):

x	−∞		−2		−1		+∞
x + 2		−	0	+	\|	+
−x − 1		+	\|	+	0	−
(x + 2) (−x − 1)		−	0	+	0	−

On veut que ce produit soit positif ou nul; les solutions de l'inéquation sont donc:

S = [ − 2 ; −1 ]

Exercices

Exercice 4

Compléter le tableau de signes du produit (2x + 1) (−3x + 4)

x	−∞	−12	43	+∞
2x + 1		0	\|
−3x + 4		\|	0
(2x + 1) (−3x + 4)		0	0

Exercice 5

Dresser le tableau de signes du produit (2x − 6) (−x + 7)

Exercice 6

Résoudre l'inéquation: 2x − 3≥−x + 2 .

Exercice 7

Résoudre l'inéquation: x(x + 2)≤(−2x + 5)(x + 2) .

Voir aussi:

Quelques devoirs

Devoir corrigé

Statistiques (moyenne, écart type), inéquations et fonctions

Statistiques: calculs de la moyenne et de l'écart type d'une série pondérée. Résolution d'inéquations. Ensemble de de définition de fonctions. Exercice complet sur les fonctions: sens de variation, courbe représentative et résolution graphique d'inéquations.

Devoir corrigé

Pourcentages, inéquations et fonctions

pourcentage et évolutions (taux global), résolution d'inéquations (tableaux de signes), et un problème complet avec des fonctions (bénéfice d'une société, rentabilité et bénéfice maximal)

Devoir corrigé

Pourcentages, probabilités, tableaux de signes

pourcentage et probabilités, et deux tableaux de signes. Intersection de deux courbes

Devoir corrigé

Probabilités, inéquations

probabilités (arbres de probabilités), et quelques inéquations (tableaux de signes)

Devoir corrigé

Fonctions (ensembles de définition, variations), premiers tableaux de signes, équations

fonctions (ensemble de définition, et sens variation), premiers tableaux de signes et deux équations