Compléments sur les fonctions: équations et inéquations
En mathématiques, la résolution d'équations est un éléments fondamental: bien souvent la résolution d'un problème, une fois formalisé en ayant identifié la ou les inconnues, se ramène finalement à la résolution d'une ou plusieurs équations.
La résolution peut s'aborder de deux façons
- algébrique: on transforme et résout l'équation avec des outils calculatroires algébriques. Voir le cours sur la résolution d'équations.
- géométrique: on note bien souvent l'inconnue x et ce n'est pas complètement anodin, on peut la concevoir comme une coordonnée dans le plan. Ainsi, de cette façon, résoudre une équation, trouver la ou les valeurs de x est un problème géométrique.
Résolution d'équations
Nous avons vu, dans le cours sur la résolution d'équations:Définition
Résoudre l'équation A(x) = a,
c'est trouver tous les nombres
x
tels que A(x) = a.
Par exemple, l'équation E: x2 − 2x = 0 est l'équation A(x) = a avec le nombre a = 0 et la fonction A définie par l'expression A(x) = x2 − 2x.
Résolution graphique
Dans l'exemple précédent, on sait résoudre exactement, algébriquement, cette équation: après factorisation A(x) = x2 − 2x = x (x − 2) = 0, puis équation produit nul, on trouve les deux solutions x1 = 0 et x2 = 2.
En terme de fonction, on interprète cette équation A(x) = 0 ainsi: rechercher tous les antécédents de 0 par la fonction A.
Graphiquement, à l'aide de la courbe de la fonction A, on peut aussi résoudre approximativement cette équation:
{$\i$}}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{-3}{4}{x 2 exp 2 x mul sub}
\rput(-4,3.4){$y=3$}
\rput(0,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
\rput(2,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
\end{pspicture*}\]](Cours-IMG/13.png)
On (re)trouve graphiquement que les antécédents de 0, c'est-à-dire les solutions de l'équation A(x) = 0 sont 0, et 2.
Exercice 1
Résoudre, à l'aide du graphique précédent, l'équation
x2 − 2x = 2.
Exercice 2
On considère les équations
E1: 2x − 3 = 2.
E2: x2 + 2x + 4 = 3
E3: 32x − 3 = 2
E4: (2x − 3)2 = 4
- Écrire chaque équation sous la forme f (x) = a
en précisant à chaque fois l'expression de f (x) et le nombre a.
Tracer alors à l'aide de la calculatrice la courbe représentative de la fonction f et résoudre graphiquement l'équation. - Résoudre algébriquement (et donc exactement) chaque équation et retrouver les résultats précédents.
Intersection de deux courbes
On considère les courbes représentatives de deux fonctions f et g.
Par exemple pour des fonctions f et g définies sur [−5 ; 5 ], avec les représentations graphiques:
(-4.3,-1)(-3,1)(-2,0)(-1,-.5)(0,-.5)(1,.1)(2,1)(3,2)(4,2.5)(5,2) \rput(-5.15,-2.9){\blue\large$\mathcal{C}_f$} \pscurve[linecolor=black,linewidth=1.6pt](-5,3)(-4,2)(-3,0)(-2,-.4)(-1,.3)(0,.5)(1,1)(2,-1.5)(3,-2)(4,-2.5)(5,-3) \rput(-4.7,2.2){\large$\mathcal{C}_g$} \psline[linestyle=dashed](-3.46,-4)(-3.46,3.3) \psline[linestyle=dashed](-1.72,-4)(-1.72,3.3) \psline[linestyle=dashed](1.46,-4)(1.46,3.3) \rput[r](-3.5,-.25){$a$}\rput(-1.85,.25){$b$}\rput(1.3,-.3){$c$}\end{pspicture}\]](Cours-IMG/53.png)
Graphiquement, les points d'intersection se lisent facilement: ce sont ici les points d'abscisse a ≃ −3,5 et b ≃ −1,8 et c ≃ 1,5.
Pour déterminer algébriquement, et donc exactement, ces valeurs on pose M(x; y) un tel point d'intersection et on a alors
M(x; y)∈ Cf
⇔
y = f (x)
et
M(x; y)∈ Cg
⇔
y = g (x)
et on a donc la double équation:
y = f (x) = g(x)
En particulier l'abscisse x des (éventuels) points d'intersection vérifie l'équation f (x) = g(x).
On résout donc cette équation, et on trouve finalement les ordonnées des points d'intersection recherchés avec y = f(x) ou y = g(x) (qui doivent bien sûr être égaux).
Exercice 3
Déterminer, graphiquement en traçant les courbes (avec la calculatrice, avec python, ou tout autre moyen numérique), puis exactement par le calcul,
les coordonnées des points d'intersection des courbes des fonctions
f
et g dans chaque cas suivant:
-
f (x) = 3x + 2
et g(x) = −x + 1
-
f (x) = x2 + x
et g(x) = −x − 1
-
f (x) = 3x2 + 2x + 1
et g(x) = x + 1
- f (x) = 1x + 2 et g(x) = 2x + 3