Calcul sur les radicaux (2)

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Simplifier l'écriture de chacun des nombres suivants (les fractions ne devront pas avoir de radical au dénominateur), puis en déduire le plus petit ensemble ( ${\rm I\kern-.1567em N}$ , ${\sf Z\kern-4.5pt Z}$ , $\mathbb{Q}$ ou ${\rm I\kern-.1567em R}$ ) auquel il appartient :

$A= \left(1-\sqrt{16}~\right)^2$

$B=\dfrac{3}{10^{-4}}$

$C= \left(\dfrac{\sqrt{8}-\sqrt{18}}{3}\right)^2$

$D=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$

Correction

$\begin{array}{l}A= \left( 1-\sqrt{16}~\rp^2 =\lp1-4\rp^2=(-3)^2=9\enar$ , donc, $A\in\N$ .

$\begin{array}{l}B=\dfrac{3}{10^{-4}} =3\tm10^{4}=30\,000\enar$ , donc $B\in\N$ .

$\begin{array}{ll} C &= \lp\dfrac{\sqrt{8}-\sqrt{18}}{3}\rp^2 =\dfrac{\lp\sqrt{8}-\sqrt{18}~\rp^2}{3^2} =\dfrac{\lp\sqrt{8}~\rp^2-2\sqrt{8}\sqrt{18}+\lp\sqrt{18}~\rp^2}{9} =\dfrac{8-2\sqrt{8\tm18}+18}{9}\vspd\\ &=\dfrac{36-2\sqrt{144}}{9} =\dfrac{26-2\tm12}{9} =\dfrac{2}{9}\enar$

donc $C\in\Q$ .

$\begin{array}{ll} D &=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}+1} =\dfrac{\left( \sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)} -\dfrac{\left( \sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)} =\dfrac{\lp\sqrt{2}+1\rp-\lp\sqrt{2}-1\rp}{\lp\sqrt{2}-1\rp\lp\sqrt{2}+1\rp} \vspd\\ &=\dfrac{2}{\sqrt{2}^2-1^2} =\dfrac{2}{1}=2 \enar$

donc, $D\in\N$ .

Tag:Calcul algébrique

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