Développements limites: Calculs de limites
Exercices corrigés et détaillés
Exercices corrigés: calculer les développements limités
Calculer les développements limités en a des fonctions suivantes, au point donné et à l'ordre indiqué.(Revoir les formules de DL usuels en 0)
-
limx0
1x
− ln(1 + x)x2
12On a, en 0
et donc,
ce qui montre que.
-
limx0
1x2lnsin(x)x
−16En 0 on a
et donc,
puis en utilisant le développement limité du logarithme en 0,
ce qui montre la limite
-
limx+∞
x −
x2 − 2x
1pour, et en posant
,
et ainsi,
et donc,
-
limx2
ln(x) − ln(2)x3−x2−x−2
114On poseet alors
et donc, pour le numérateur,
Au dénominateur, avec le même changement de variable, on a en développant et ne conservant que les termes de degré au plus 1,
et
et donc
d'où
et on trouve finalement la limite
-
limx+∞
2x + 12x − 1
2x
e2On pose, et alors, avec
on a
Avec le DL, on a alors
et de même
d'où
On a donc trouvé que
et donc que
-
limx0
2sin2x
− 11 − cos(x)
12
et donc
etdonc
et
On obtient donc,
d'où
-
limx+∞
x
x − 3x + 1
− x
−2Pour se ramener à 0, on pose, avec donc
et on a alors
On peut alors utiliser un développement limité:
puis,
ce qui montre que
-
limx+∞
x + x + x
− x
12On a
soit, en posant, et en développant au permier ordre,
et on trouve alors la limite recherchée:
-
limx+∞
x sin1x
x2
e−1/6On poseet on a alors, en prenant le logarithme
On se ramène ensuite en 0 en posant:
et donc
On prend alors le logarithme népérien, et en posant,
soit
et donc
et on trouve donc que
et on en déduit la limite
-
limx+∞
x+x2+1
−
x+x2−1
0
Voir aussi: