Calculs de développements limités

Exercices corrigés et détaillés

Formules: DL usuels

Pour calculer des développements, on se ramène aux développements limités de fonctions usuelles, qu'il faut donc bien connaître.
Les développements limités étendent, ou complètent, les formules d'équivalents. L'équivalent est en fait le premier terme (non nul) du développement limité.

Développements limités usuels

Toutes les formules de développement limité sont en 0. Pour calculer un développement limité en un autre point, voire en l'infini, on se ramène en 0 par un changement de variable.

Somme géométrique

1/1 − x = ⁿ ∑ _k=0 x^k + o(xⁿ) = 1 + x + x² + … + xⁿ + o(xⁿ)

et donc, la somme géométrique alternée, en remplaçant x en −x

1/1 + x = 1 − x + x² + … + (−1)ⁿxⁿ + o(xⁿ)

Logarithme

En intégrant ce dernier développement, on otient celui du logarithme ln(1+x) (le terme constant, ou constante d'intégration est nulle car ln(1+0) = ln(1) = 0:

ln(1 + x) = x − x²/ 2 + x³/ 3 + … + (−1)ⁿ xⁿ/ n + o(xⁿ)

Développement limité de puissances

(1 + x)^α = 1 + αx + α(α−1)/2!x² + … + α(α−1)…(α−n+1)/n!xⁿ + o(xⁿ⁺¹)

On a les cas particuliers:

Si α est un nombre entier positif, alors tous les termes du développement sont nuls à partir d'un certain rang et on retrouve le développement exact donné par le binôme de Newton.
Pour α = −1, on retrouve le développement d'une somme géométrique.
Pour α = ±1/2, on obtient les développements pour des racines carrées, comme on va le voir juste après.

Développement limité de arctan

On utilise la dérivée puis le développement de (1+x)^α avec α = −1 et x²

arctan'(x) = 1/1 + x² = 1 − x² + x⁴ + … + (−1)ⁿx²ⁿ + o(x²ⁿ)

qu'on intègre ensuite facilement, avec arctan(0) = 0,

arctan(x) = 1 − x³/3 + x⁵/5 + … + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/2n+1 + o(x²ⁿ⁺¹)

Il est intéressant de se souvenir ici, autant de la formule du développement limité de arctangente que de la méthode qui peut être assez pratique pour calculer un développement limité.

Développement limité de l'exponentielle

e^x = ⁿ ∑ _k=0 x^k/k! + o(xⁿ) = 1 + x + x²/2! + … + xⁿ/n! + o(xⁿ)

Fonctions circulaires: cosinus et sinus

Les fonctions trigonométriques, ou circulaires, sont liées à l'exponentielle par les formules d'Euler:

cos(x) = e^ix + e^−ix/2

sin(x) = e^ix − e^−ix/2i

Ainsi, dans le développement limité du cosinus, on va retrouver celui de l'exponentielle en ne conservant que les termes d'ordre pair, tandis que dans celui du sinus on ne conserve que les termes d'ordre impair:

cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! + … + (−1)ⁿ x²ⁿ/(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹)

sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! + … + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! + o(x²ⁿ⁺²)

Exercices corrigés: calculer les développements limités

Calculer les développements limités en 0 des fonctions suivantes, à l'ordre indiqué.

f (x) = 1 + x + x² à l'ordre 2
f(x) = 1 + 1/2x + 3/8x² + o(x²)
En posant qui tend bien aussi vers 0, on a

$\begin{array}{ll}f(x)&=(1+X)^{1/2}\\&=1+\dfrac12X-\dfrac18X^2+o(X^2)\enar$

avec, à l'ordre au plus 2,

$X^2=\left( x+x^2\rp^2=x^2+o(x^2)$

et donc

$f(x)=1+\dfrac12\left( x+x^2\rp-\dfrac18\left( x^2\rp +o(x^2)$

soit

$f(x)=1+\dfrac12x+\dfrac38x^2+o(x^2)$

On a donc trouvé au passage que la tangente en 0 a pour équation $y=1+\dfrac12x$ , et que,

$f(x)-\lp1+\dfrac12x\rp=\dfrac38x^2+o(x^2)$

Cette expression est positive dans un voisinage de 0, ce qui montre que la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de 0.
f (x) = arctan(x+1) à l'ordre 4
f(x) = π/4 + x/2 − x²/4 + x³/12 + o(x³)
On dérive cette fonction:

$f'(x)=\dfrac1{1+(x+1)^2}=\dfrac1{2+2x+x^2}$

et on se ramène à un développement limité connu en factorisant:

$f'(x)=\dfrac12\tm\dfrac1{1+x+\dfrac{x^2}2}$

soit

$\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac12\tm\dfrac1{1+X}\\[1em]&=\dfrac12\lp1-X+X^2-X^3+o(X^3)\rp\enar$

où on a posé $X=x+\dfrac{x^2}2$ , donc, en se limitant à l'ordre 3,

$\begin{array}{ll}X^2&=\left( x+\dfrac{x^2}2\rp^2\\&=x^2+2\times x\times\dfrac{x^2}2+o(x^3)\\[1em] &=x^2+x^3+o(x^3)\enar$

et aussi

$X^3=\left( x+\dfrac{x^2}2\rp^3=x^3+o(x^3)$

Ainsi,

$\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac12\lp1-X+X^2-X^3+o(X^3)\rp\\[1em] &=\dfrac12\lp1-\lp x+\dfrac{x^2}2\rp+\lp x^2+x^3\rp - x^3+o(x^3)\rp\\[1em] &=\dfrac12\lp1-x+\dfrac{x^2}2+o(x^3)\rp\\[1em] &=\dfrac12-\dfrac{x}2+\dfrac{x^2}4+o(x^3)\\[1em] \enar$

On en déduit alors le développement limité de en intégrant entre 0 et , soit

$f(x)-f(0)=\dfrac{x}2-\dfrac{x^2}4+\dfrac{x^3}{12}+o(x^4)$

où $f(0)=\arctan(1)=\dfrac\pi4$ , et donc, finalement,

$f(x)=\dfrac\pi4+\dfrac{x}2-\dfrac{x^2}4+\dfrac{x^3}{12}+o(x^4)$
f (x) = ln(1 + x) sin(x) à l'ordre 4
f(x) = x² − x³/2 + x⁴/6 + o(x⁴)
On a d'un part

$\sin(x)=x-\dfrac{x^3}6+o(x^3)$

et d'autre part

$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3+o(x^3)$

et alors, en multipliant et en se limitant au terme de degré inférieur à 4,

$\begin{array}{ll}f(x)&=\ln(1+x)\sin(x)\\[.8em] &=\left( x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3+o(x^3)\rp\left( x-\dfrac{x^3}6+o(x^3)\rp\\[1em] &=x^2-\dfrac{x^4}6-\dfrac{x^3}2+\dfrac{x^4}3+o(x^4)\\[1em] &=x^2-\dfrac{x^3}2+\dfrac{x^4}6+o(x^4) \enar$
f (x) = 1/1 + e^x à l'ordre 3
f(x) = 1/2 − 1/4x + 1/48x³ + o(x³)
On a

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$

et donc

$f(x)=\dfrac1{2+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)} =\dfrac12\tm\dfrac1{1+X}$

avec $X=\dfrac{x}2+\dfrac{x^2}4+\dfrac{x^3}{12}+o(x^3)$ Ainsi,

$f(x)=\dfrac12\lp1-X+X^2-X^3+o(X^3)\rp$

avec, en limitant à l'ordre 3,

$\begin{array}{ll}X^2&=\left( \dfrac{x}2+\dfrac{x^2}4+\dfrac{x^3}{12}+o(x^3)\rp^2\\[1.2em] &=\dfrac{x^2}4+\dfrac{x^3}4+o(x^3)\enar$

et

$\begin{array}{ll}X^3&=\left( \dfrac{x}2+\dfrac{x^2}4+\dfrac{x^3}{12}+o(x^3)\rp^3\\[1.2em] &=\dfrac{x^3}8+o(x^3)\enar$

et donc, en revenant à ,

$f(x)=\dfrac12\lp1-X+X^2-X^3+o(X^3)\rp$

soit

$f(x)=\dfrac12\lp1-\lp\dfrac{x}2+\dfrac{x^2}4+\dfrac{x^3}{12}\right) +\lp\dfrac{x^2}4+\dfrac{x^3}4+o(x^3)\right) -\lp\dfrac{x^3}8\rp+o(x^3)\rp$

et donc

$f(x)=\dfrac12\lp1-\dfrac{x}2+\dfrac{x^3}{24}+o(x^3)\rp$

ou encore

$f(x)=\dfrac12-\dfrac{x}4+\dfrac{x^3}{48}+o(x^3)$
f (x) = ln(1 + x)/1 − x à l'ordre 3
f(x) = x + 1/2x² + 5/6x³ + o(x³)
On a le produit
f (x) = ln(1 + x) 1/1 − x
et les développements limités en 0:
ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 + o(x³)
et
1/1 − x = 1 + x + x² + x³ + o(x³)
et donc, en multipliant ces développements limités,
f (x) = 1 + 1 + x à l'ordre 1
f(x) = 2 + 2/8x − 52/128x + o(x)
Comme $u=\sqrt{x}\to0$ , on a

$\begin{array}{ll}\sqrt{1+u}&=\lp1+u\rp^{1/2}\\&=1+\dfrac12u-\dfrac18u^2+o(u^2)\enar$

et donc, avec ,

$\sqrt{1+\sqrt{x}}=1+\dfrac12\sqrt{x}-\dfrac18x+o(x)$

On a alors

$\begin{array}{ll}f(x)&=\sqrt{2+\dfrac12\sqrt{x}-\dfrac18x+o(x)}\\[1em]&=\sqrt2\sqrt{1+\dfrac14\sqrt{x}-\dfrac1{16}x+o(x)}\\[1em]&=\sqrt{2}(1+v)^{1/2}\enar$

avec la variable

$v=\dfrac14\sqrt{x}-\dfrac1{16}x+o(x)$

On obtient alors

$f(x)=\sqrt{2}\lp1+\dfrac12v-\dfrac18v^2+o(v^2)\rp$

où, maintenant

$v^2=\lp\dfrac14\sqrt{x}-\dfrac1{16}x+o(x)\rp^2=\dfrac1{16}x+o(x)$

et donc

$f(x)=\sqrt2\lp1+\dfrac12\lp\dfrac14\sqrt{x}-\dfrac1{16}x\right)-\dfrac18\tm\dfrac1{16}x+o(x)\rp$

soit finalement,

$f(x)=\sqrt2+\dfrac{\sqrt{2}}8\sqrt{x}-\dfrac{5\sqrt2}{128}x+o(x)$
f (x) = x/sin(x) à l'ordre 5
f(x) = 1 + x²/6 + 7x⁴/360 + o(x⁵)
Pour le sinus, le développement limité est

$\begin{array}{ll}\sin(x)&=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^6)\\[1em] &=x-\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^5}{120}+o(x^6) \enar$

et donc

$\begin{array}{ll} \dfrac1{\sin(x)}&=\dfrac1{x-\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^5}{120}+o(x^6)}\\[2.2em] &=\dfrac1x\,\dfrac1{1-\dfrac{x^2}6+\dfrac{x^4}{120}+o(x^5)}\\[2.2em] &=\dfrac1x\lp1-\dfrac{x^2}6+\dfrac{x^4}{120}+o(x^5)\rp^{-1} \enar$

On utilise alors le développement limité usuel

$(1+u)^{-1}=1-u+u^2+o(u^2)$

avec ici $u=-\dfrac{x^2}6+\dfrac{x^4}{120}+o(x^5)$ soit

$\begin{array}{rcl}\lp1+u\rp^{-1} &=&1-\lp-\dfrac{x^2}6+\dfrac{x^4}{120}+o(x^5)\rp\\[1.2em] &&+\lp-\dfrac{x^2}6+\dfrac{x^4}{120}+o(x^5)\rp^2+o(u^2)\\[1.2em] &=&1-\lp-\dfrac{x^2}6+\dfrac{x^4}{120}+o(x^5)\rp\\[1.2em] &&+\lp\dfrac{x^4}{36}+o(x^5)\rp^2+o(x^5)\\[1.2em] &=&1+\dfrac{x^2}6+\lp-\dfrac1{120}+\dfrac1{36}\right) x^4+o(x^5) \enar$

soit donc finalement

$\dfrac1{\sin(x)}=\dfrac1x\lp1+\dfrac{x^2}6+\dfrac7{360} x^4+o(x^5)\rp$

et alors

$f(x)=\dfrac{x}{\sin(x)} =1+\dfrac{x^2}6+\dfrac7{360} x^4+o(x^5)$
f (x) = e^x/(1 + x)³ à l'ordre 2
f(x) = 1 − 2x + 7/2x² + o(x²)
On a pour l'exponentielle

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)$

et pour le dénominateur,

$\dfrac1{(1+x)^3}=(1+x)^{-3} =1-3x+6x^2+o(x^2)$

et donc pour le produit

$f(x)=\lp1+x+\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)\rp\lp1-3x+6x^2+o(x^2)\rp$

soit en développant et ordonnant les termes

$f(x)=1-2x+\dfrac72x^2+o(x^2)$
f (x) = e^x/cos(x) à l'ordre 3
f(x) = 1 + x + x² + 2/3x³ + o(x³)
On a tout d'abord

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$

et

$\cos(x)=1-\dfrac{x^2}2+o(x^3)$

et donc

$\dfrac1{\cos(x)}=\lp\cos(x)\rp^{-1} =\lp1+u\rp^{-1}$

avec $u=-\dfrac{x^2}2+o(x^3)\to0$ , et donc en se limitant à l'ordre 3,

$\dfrac1{\cos(x)}=1+\dfrac{x^2}2+o(x^3)$

d'où, par produit,

$\begin{array}{ll}\dfrac{e^x}{\cos(x)}&=e^x\lp\cos(x)\rp^{-1}\\[1em] &=\lp1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\rp\lp1+\dfrac{x^2}2+o(x^3)\rp\\[1em] &=1+\dfrac{x^2}2+x+\dfrac{x^3}2+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+o(x^3)\\[1em] &=1+x+x^2+\dfrac{2x^3}3+o(x^3) \enar$

Voir aussi: