Variation et minimum d'une fonction avec exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=e^{-2x+1}+2x-3$.
Préciser les valeurs des éventuels extrema.


Correction

Correction

On a $f=e^u+v$ avec $u(x)=-2x+1$ donc $u'(x)=-2$ et $v=2x-3$ donc $v'=2$, et alors $f'=u'e^u+v'$ soit
\[f'(x)=-2e^{-2x+1}+2\]

On cherche alors le signe de cette fonction dérivée:
\[\begin{array}{ll}&f'(x)=-2e^{-2x=1}+2>0\\&\iff -2e^{-2x+1}>-2\\&\iff e^{-2x+1}<1=e^0\\&\iff -2x+1<0\enar\]

car la fonction exponetielle est sttrictement croissante. et qinsi, $f'(x)>0\iff x>\dfrac12$ et on peut alors dresser le tableau de variation la fonction
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $1/2$ && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb&+&\\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-1$&&\\\hline\end{tabular}\]

avec le minimum $f\lp\dfrac12\rp=e^0+2\tm\dfrac12-3=-1$


Tag:Exponentielle

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