Variation d'une fonction

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-2}$.


Correction

Correction

$f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-2}$.
On a $f=u+4\dfrac1v$, d'où $f'=u'+4\dfrac{-v'}{v^2}$, soit $f'(x)=1+4\dfrac{-1}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2}$
Le numérateur et un trinôme du second degré qui admet deux racines: $x^2-4x=0\iff x(x-4)=0$ donc $x=0$ et $x=4$.
Le dénominateur s'annule en $x=2$ qui est donc une valeur interdite.

\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && 0 && 2 && 4 && $+\infty$ \\\hline $x^2-4x$ && $+$ &\zb& $-$ &$|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline $(x-2)^2$ && $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline &&&&&&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]



Tag:Fonctions et dérivées

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