Dérivées et sens de variation d'une fonction

Exercices corrigés et détaillés

Formules de dérivation

Dérivée des fonctions usuelles & Opérations sur les dérivées

Exercices corrigés: dérivées et sens de variation d'une fonction

1. f (x) = 3x − 2
   f '(x) = 3 > 0 donc f est strictement croissante sur R
   
   

   x	−∞		+∞
   f '(x)		+
   f		↗

   
   
   Remarque: On peut bien sûr aussi ici simplement remarquer que f est une fonction affine de coefficient directeur 3 > 0, donc strictement croissante…
   
   
   
2. f (x) = 3x² + 2x − 3
   f '(x) = 6x + 2 et on a alors
   
   

   x	−∞		−3		+∞
   f '(x)		−	0	+
   f		↘		↗
   			18

   
   
   Remarque: ce sens de variation est aussi directement du cours, car f est du second degré.
   
   
   
   
3. f (x) = −2x² − 4x + 1
   f '(x) = −4x − 4 et donc
   
   

   x	−∞		−3		+∞
   f '(x)		+	0	−
   			3
   f		↗		↘

   
   
   
   
4. f (x) = x³ − 3x − 4
   f '(x) = 3x² − 3 est du second degré et comme f '(x) = 3(x² − 1) =3(x − 1)(x + 1) on a les deux racines x₁ = 1 et x₂ = −1 (ou aussi, en calculant le disriminant Δ …)
   On a alors:
   
   

   x	−∞		−1		1		+∞
   f '(x)		+	0	−	0	+
   			−2
   f		↗		↘		↗
   					−6

   
   
   
   
   
   
5. f (x) = 3x + 1
   On calcule la dérivée de f (x) = 3×1x + 1 donc f = 3×1u avec u(x) = x + 1 donc u'(x) = 1 et alors f '= 3×−u'u²
   soit f '(x) = 3×−1(x + 1)²
   Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul, et donc, en faisant attention à cette valeur interdite:
   
   

   x	−∞		3				+∞
   −3		−				−
   (x+1)2		+				+
   f '(x)		−				−
   f		↘				↘

   
   
   
   
   
   
   
   
6. f (x) = −10x² + 3
   On calcule la dérivée de f (x) = −10×1x² + 3 donc f = −10×1u avec u(x) = x² + 3 donc u'(x) = 2x et alors f '= −10×−u'u²
   soit

   f '(x) = −10×−2x(x² + 3)² = 20x(x² + 3)²

   
   
   Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul. Il n'est de plus jamais nul car pour tout x réel, on a x² ≥ 0 donc x² + 3 ≥ 3 > 0.
   
   On a donc
   
   

   x	−∞		0		+∞
   20x		−	0	+
   (x2 + 3)2		+	|	+
   f '(x)		−	0	+
   f		↘		↗
   			−103

   
   
   
   
   
   
   
   
7. f (x) = (3x − 2)²
   On a f = u² avec u(x= 3x − 2 donc u'(x = 3 et alors f '= 2u'u
   soit

   f '(x)= 2×3×(3x − 2) = 6(3x − 2)

   
   
   Remarque: on peut aussi développer l'identité remarquable: f (x) = 9x² −12x + 4 et dériver ensuite.
   
   On a alors
   
   

   x	−∞		23		+∞
   3x−2		−	0	+
   f '(x)		−	0	+
   f		↘		↗
   			0

   
   
   
   
   
   
8. f (x) = x + 2x + 3
   
   
   On a f = uv avec u (x) = x + 2 donc u'(x) = 1 et v (x) = x + 3 donc v'(x) = 1
   et alors f ' = u'v − uv'v²
   soit

   f '(x) = 1(x + 3) − (x + 2)1(x + 3)² = 1(x + 3)²

   
   Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul, et donc, en faisant attention à cette valeur interdite:
   
   

   x	−∞		−1				+∞
   f '(x)		+				+
   f		↗				↗

   
   
   
   
   
   
9. f (x) = 5xx² + 3
   f (x) = 5×xx² + 1
   soit f = 5×uv avec u(x) = x donc u'(x) = 1 et v (x) = x² + 3 donc v' (x) = 2x
   et alors f ' = 5×u'v − uv'v²
   soit

   f '(x) = 5×1(x²+3) − x(2x)(x² + 3)² = 5−x² + 3(x² + 3)²

   
   
   Le numérateur est un trinôme du second degré dont on trouve facilement les racines:

   −x² + 3 = 0 ⇔   x² = 3 ⇔   x = 3 ou x = −3

   
   (ou en calculant le discriminant Δ … )
   
   Le carré au dénominateur est toujours positif ou nul. Il n'est de plus jamais nul car pour tout x réel, x² ≥ 0 et donc x² + 3 ≥ 3 > 0
   (on peut aussi calculer le discriminant du trinôme du second degré x² + 3 … )
   
   On a alors
   
   

   x	−∞		−3		3		+∞
   5		+	|	+	|	+
   −x2+3		−	0	+	0	−
   (x2 + 3)2		+	|	+	|	+
   f '(x)		−	0	+	0	−
   					536
   f		↘		↗		↘
   			−536

   
   
   
   
   
   
10. f (x) = 4x + 1x