Inégalité sur les dérivées
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Énoncé
- Soit
et
deux fonctions dérivables sur
telles que
et pour tout
,
.
Démontrer que pour tout , .(Indication: on pourra étudier les variations de la fonction .)
- Application.
Soit les fonctions
et
définies sur
par
et
.
Montrer que pour tout , .
Correction
Correction
- Soit la fonction
définie sur
par
.
Alors, pour tout , , et donc, comme , pour tout , .
On en déduit que la fonction est décroissante sur .
On sait de plus que , et donc le tableau de variation de :
- Soit
et
.
On a
.
De plus, pour tout , et , d'où,
On en déduit donc, d'après la question 1., que pour tout , .
Tag:Fonctions et dérivées
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