Modélisation d'un tobogan

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Pour faire franchir à des chariots une marche de deux mètres de haut, sur une distance de horzontale de cinq mètres, on cherche à construire un tobogan.

Dans un repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ la courbe $ \mathcal{C}$ , qui est une vue en coupe du tobogan, doit obéir aux contraintes suivantes:

  • la courbe passe par les points $ O$ et $ A(5;2)$
  • les tangentes en $ O$ et $ A$ sont horizontales (pour se raccorder sans "angle" avec le sol).


\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3) \psline[arrowsize=5pt,linewidth=0.4pt]{->}(-2.5,0... ...$} \rput(-0.3,2){$2$} \rput(-0.2,-0.2){$O$} \rput(5,2.3){$A$} \end{pspicture}

  1. On recherche une fonction polynôme du troisième degré: $ f:x\mapsto ax^3+bx^2+cx+d$ , et dont la courbe représentative est $ \mathcal{C}$ .

    Déterminer les coefficients $ a$ , $ b$ , $ c$ et $ d$ pour que la courbe $ \mathcal{C}$ représentative de $ f$ convienne.

  2. Déterminer les coordonnées du point $ I$ milieu de $ [OA]$ . Ce point appartient-il à $ \mathcal{C}$ ?


    La pente en un point de la courbe est le coefficient directeur de la tangente à $ \mathcal{C}$ en ce point.

    Quelle est la pente de $ \mathcal{C}$ en $ I$ ?


Correction


Tag:Fonctions et dérivées

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