Variation d'une fonction rationnelle et deux équations de tangente

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit la fonction $ f$ définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{-\dfrac14\right\}$ par l'expression $ f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$ .
Calculer $ f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $ f$ (préciser les valeurs exactes des éventuels minimums et maximums).

Préciser l'équation des tangentes aux points d'abscisses $-2$ et $2$.


Correction

Correction

Soit la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -\dfrac14\ra$ par l'expression $f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\la\begin{array}{ll} u(x)&=x^2+3 \\ v(x)&=4x+1 \enar\right.$ soit $\la\begin{array}{ll} u'(x)&=2x \\ v'(x)&=4 \enar\right.$

On a donc, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{2x(4x+1)-(x^2+3)\tm4}{(4x+1)^2} =\dfrac{4x^2+2x-12}{(4x+1)^2} $

Le trinôme du numérateur a pour discriminant: $\Delta=2^2+4\tm4\tm(-12)=196=14^2>0$, et admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-2-14}{2\tm4}=-2$ et $x_1=\dfrac{-2+14}{2\tm4}=\dfrac32$ .

\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline \rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm} $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline $4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline $(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} &$-$&\zb&$+$&\\\hline &&&$-1$&&&&&&\\ $f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$} &\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline \end{tabular} \begin{array}{ll} \bullet\ f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm] \bullet\ f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1} =\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7} =\dfrac34\\ \end{array} \]


L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est
\[T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)\]

Au point d'abscisse $-2$, on a (déjà ans le tableau de variation) $f'(-2)=0$ et $f(-2)=-1$, d'où l'équation de la tangente horizontale
\[T_{-2}: y=-1\]


Au point d'abscisse $2$, on calcule $f(2)=\dfrac{2^2+3}{4\tm2+1}=\dfrac79$ et $f'(2)=\dfrac{4\tm2^2+2\tm2-12}{(4\tm2+1)^2}=\dfrac{8}{81}$ d'où l'équation de la tangente
\[T_2: y=\dfrac{8}{81}(x-2)+\dfrac79=\dfrac{8}{81}x+\dfrac{47}{81}\]



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