Variation d'une fonction rationnelle et tangente parallèle à une droite

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit

la fonction définie par $f(x)=4x-1+\dfrac{2}{2x+1}$ .

Déterminer la fonction dérivée de , son tableau de signe, puis les variations de .
Soit la droite . Déterminer les éventuels points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à .

Correction

$f(x)=4x-1+\dfrac{2}{2x+1}$ donc on a $f=u2\tm\dfrac{1}{v}$ avec donc et donc et ainsi $f'=u'+4\tm\dfrac{-v'}{v^2}$ soit $f'(x)=4-\dfrac{4}{(2x+1)^2}=\dfrac{16x^2+16x}{(2x+1)^2} =\dfrac{16x(x+1)}{(2x+1)^2}$
Le numérateur, est un trinôme du second degré de racines évidentes et , et on peut alors dresser le tableau de signe, puis de variation:

$\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $-1/2$ && 0 && $+\infty$ \\\hline $16x(x+1)$ & &$+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & $|$ & $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$& \\\hline $(2x+1)^2$ & &$+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$& \\\hline $f'(x)$ & &$+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & & $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$& \\\hline &&&$-7$&&&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \psline(-.03,-.7)(-.03,1.4)\psline(.03,-.7)(.03,1.4)&\Large{$\searrow$}& &\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&1&&\\\hline \end{tabular}$
La tangente est parallèle à lorsque son coefficient directeur est égal à celui de , donc lorsque , soit

$\begin{array}{ll} f'(x)&=4-\dfrac{4}{(2x+1)^2}=3\\[1em] \iff&\dfrac{4}{(2x+1)^2}=1\\[1em] \iff&(2x+1)^2=4\\[.6em] \iff&\la\begin{array}{l}2x+1=2\\2x+1=-2\enar\right. \\[1em] \iff&\la\begin{array}{l}x=1/2\\x=-3/2\enar\right. \enar$

Il y a donc deux tels points: $A\lp\dfrac12;f\lp\dfrac12\rp\rp$ , soit $A\lp\dfrac12;2\rp$ et $B\lp-3/2;f\lp-\dfrac32\rp\rp$ soit $B\lp-\dfrac32;-8\rp$ .

Tag:Fonctions et dérivées

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