Tangentes perpendiculaires à une parabole

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=\dfrac12x^2-x+\dfrac72$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.
On note $T_0$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 et $T_2$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2.
  1. Donner l'équation de $T_0$.
  2. Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de $T_0$ avec l'axe des abscisses, puis du point $B$ d'intersection de $T_0$ avec l'axe des ordonnées.
  3. Donner l'équation de $T_2$.
  4. Montrer que les droites $T_0$ et $T_2$ sont perpendiculaires.



Correction

Correction

  1. On a $f'(x)=x-1$ et donc, la tangente $T_0$ à $\mathcal{C}_f$ en 0 a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$, avec $f'(0)=-1$ et $f(0)=\dfrac72$, d'où l'équation
    \[T_0: y=-x+\dfrac72\]

  2. On a $A(x;0)\in T_0$ et donc $y=0=-x+\dfrac72\iff x=\dfrac72$, et donc $A\lp\dfrac72;0\rp$
    De même, on a $B(0;y)\in T_0$ et donc $y=0+\dfrac72$, et donc $B\lp0;\dfrac72\rp$
  3. La tangente $T_2$ à $\mathcal{C}_f$ en 2 a pour équation $T_2: y=f'(2)(x-2)+f(2)$ soit, avec $f'(2)=1$ et $f(2)=\dfrac72$, l'équation
    \[T_2: y=1(x-2)+\dfrac72=x+\dfrac32\]


  4. On peut suivre l'idée de la question b) et chercher aussi les points d'intersection de $T_2$ avec les axes du repère.
    On trouve les points $A'\lp-\dfrac32;0\rp$ et $B'\lp0;\dfrac32\rp$.

    Maintenant, les droites $T_1$et $T_2$ sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{A'B'}$ sont orthogonaux, et donc si et seulement si
    \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'B'}=0\]

    Or, $\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}-7/2\\7/2\enar\rp$ et $\overrightarrow{A'B'}\lp\begin{array}{c}3/2\\3/2\enar\rp$, d'où
    \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'B'}=\lp-\dfrac72\rp\tm\dfrac32+\dfrac72\tm\dfrac32=0\]

    ce qui montre que ces vecteurs sont bin orthongonaux, et donc les droites bien perpendiculaires.


Tags:Produit scalaireTrigonométrie

Autres sujets au hasard: Lancer de dés


Voir aussi:

Quelques devoirs