Inéquation trigonométrique avec un sinus

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

En s'aidant du cercle trigonométrique, résoudre dans $]-\pi;\pi[$ l'inéquation: $\sin(x)\geqslant\dfrac12$ .

Correction

On connaît la valeur remarquable du sinus: $\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$ , et donc aussi par symétrie (et/ou formule trigonométrique) $\sin\lp\pi-\dfrac\pi6\rp=\sin\dfrac{5\pi}6=\dfrac12$ .

À l'aide du cercle trigonométrique, on trouve alors les solutions de l'inéquation:

$\sin(x)\geqslant\dfrac1{2} \iff x\in\lb\dfrac\pi6;\dfrac{5\pi}6\rb$

$\psset{unit=1.8cm} \begin{pspicture}(-1.1,-1.1)(1.2,1.2) \pscircle(0,0){1} \psline(-1.1,0)(1.1,0) \psline(0,-1.1)(0,1.1) \psline[linestyle=dashed](-.866,.5)(.866,.5) \rput[r](-.1,.56){$\dfrac12$} \psarc[linewidth=2pt,linecolor=blue](0,0){1}{30}{150} \psline(0,0)(.866,.5)\rput(1.3,.3){$\dfrac\pi6$} \psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0){1.2}{1}{29} \psline(0,0)(-.866,.5)\rput(.85,1.5){$\dfrac{5\pi}6$} \psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0){1.5}{1}{149} \end{pspicture}$