Egalité sinus et cosinus

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Résoudre l'équation suivante dans ${\rm I\kern-.1567em R}$ : $\displaystyle \sin 2x=\cos \frac{x}{2}$ .

Correction

Pour l'équation $\sin 2x=\cos\dfrac{x}{2}$ une solution consiste à écrire :

$\displaystyle \sin 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)$

(en utilisant la formule: $\sin x =\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ ).
L'équation se réécrit alors:

$\displaystyle \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right) = \cos\frac{x}{2}$

d'où :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \dfrac{\pi}{2}-2x=\frac{x}{... ...{2}-2x=-\frac{x}{2}+2k\pi\qquad k \in {\sf Z\kern-4.5pt Z} \end{array}\right.$

soit :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{5}{2}x=\frac{\pi}{2}+... ...2}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k \in {\sf Z\kern-4.5pt Z}\\ \end{array}\right.$

soit finalement :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \displaystyle x=\frac{\pi}{5}+4k\frac{\pi... ...ac{\pi}{3}+4k\frac{\pi}{3}\qquad k \in {\sf Z\kern-4.5pt Z} \end{array}\right.$