Suite récurrente et suite intermédiaire arithmétique

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}= \dfrac{5u_n}{2u_n+5}$. On définit aussi la suite $(v_n)$ pour tout $n$ entier naturel par $v_n=\dfrac1{u_n}$.
  1. Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
  2. Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique, dont on donnera la raison.
  3. En déduire l'expression de $(v_n)$, puis celle de $(u_n)$ en fonction de $n$.

Correction
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}= \dfrac{5u_n}{2u_n+5}$. On définit aussi la suite $(v_n)$ pour tout $n$ entier naturel par $v_n=\dfrac1{u_n}$.
  1. $v_0=\dfrac1{u_0}=\dfrac11=1$.
    $v_1=\dfrac1{u_1}$, avec $u_1=\dfrac{5u_0}{2u_0+5}=\dfrac57$
    $v_2=\dfrac1{u_2}$, avec $u_2=\dfrac{5u_1}{2u_1+5}=\dfrac{5\tm\dfrac57}{2\tm\dfrac57+5}=\dfrac59$ et donc $v_2=\dfrac1{\dfrac59}=\dfrac95$

  2. \[\begin{array}{ll} v_{n+1} - v_n &= \dfrac1{u_{n+1}} - \dfrac1{u_n}\\[1.2em] &= \dfrac1{\dfrac{5u_n}{2u_n+5}}-\dfrac1{u_n}\\[2.4em] &=\dfrac{2u_n+5}{5u_n}-\dfrac1{u_n}\\[1.2em] &=\dfrac{2u_n+5}{5u_n}-\dfrac5{5u_n}\\[1.2em] &=\dfrac{2u_n}{5u_n}=\dfrac25\\ \enar\]

    ainsi la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=\dfrac25$.
  3. On en déduit que, pour tout entier $n$, $v_n = v_0 + nr = 1+\dfrac25n$.
    Ensuite, comme $v_n=\dfrac1{u_n}\iff u_n=\dfrac1{v_n}$, on trouve finalement l'expression
    \[u_n=\dfrac1{1+\dfrac25n}\]



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