Sens de variation d'une suite récurrente

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

  1. Donner le signe de $P(x)=-x^2+x-1$ en fonction de $x$.
  2. On définit la suite $\left( u_n\rp$ par $u_0=1$ puis, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}$.
    On admet que pour tout entier $n$, $u_n>-2$.
    1. Calculer les valeurs exactes des premiers termes $u_1$ et $u_2$.
    2. Étudier le sens de variation de $\left( u_n\rp$.



Correction

Correction

  1. $P(x)=-x^2+x-1$ est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=-3<0$ et n'admet donc aucune racine réelle.
    On a donc $P(x)<0$ pour tout $x$ réel.
  2. On définit la suite $\left( u_n\rp$ par $u_0=1$ puis, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}$.
    1. $u_1=\dfrac{3u_0-1}{u_0+2}=\dfrac23$, $u_2=\dfrac{3u_1-1}{u_1+2}=\dfrac1{\frac23+1}=\dfrac35$
    2. On a
      \[\begin{array}{ll}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}-u_n\\[1.2em] &=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}-\dfrac{u_n\left( u_n+2\right)}{u_n+2}\\[1.2em] &=\dfrac{-u_n^2+u_n-1}{u_n+2}\\[1.2em] &=\dfrac{P\left( u_n\right)}{u_n+2}\enar\]

      Or $P\left( u_n\rp<0$ d'après la question 1., et, comme $u_n>-2$, on a $u_n+2>0$.
      Ainsi, $u_{n+1}-u_n<0$ et donc $\left( u_n\rp$ est strictement décroissante.


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