Sens de variation d'une suite définie par récurrence
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Soit
la suite défine par
et, pour tout entier
,
.
Déterminer le sens de variation de la suite
.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0/1.png)
![$u_0=3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0/3.png)
![$u_{n+1}=2u_n^2+u_n+3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0/4.png)
Déterminer le sens de variation de la suite
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0/5.png)
Correction
On a, pour tout entier naturel
,
.
Comme
, on a
, et ainsi,
est strictement croissante.
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On a, pour tout entier naturel
![$n$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0_c/1.png)
![$u_{n+1}-u_n=2u_n^2+u_n+3-u_n=2u_n^2+3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0_c/2.png)
Comme
![$u_n^2\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0_c/3.png)
![$u_{n+1}-u_n\geqslant3>0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0_c/4.png)
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.0_c/5.png)
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