Polynôme du 3ème degré pour l'étude d'une fonction

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\R\setminus\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -1;1\ra$ par $f(x)=\dfrac{x^3+9}{x^2-1}$.
  1. Soit le polynôme $P$ défini par $P(x)=x^3-3x-18$.
    1. En remarquant que $3$ est une racine de $P$, factoriser $P$.
    2. Déterminer le signe de $P$.

  2. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ puis dresser le tableau de variation de $f$.



Correction

Correction

  1. Soit le polynôme $P$ défini par $P(x)=x^3-3x-18$.
    1. On a $P(3)=3^3-3\tm3-18=27-9-18=0$, donc $3$ est bien une racine de $P$ qui se factorise donc selon: $P(x)=(x-3)(ax^2+bx+c)$, avec
      \[\begin{array}{cll} &P(x) &=x^3-3x-18\\ &&=(x-3)(ax^2+bx+c)\\ &&=ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c\\ &\iff& \la\begin{array}{ll} a=1\\ b-3a=0\\ c-3b=-3\\ -3c=-18 \enar\right.\\ &\iff& \la\begin{array}{ll} a=1\\ b=3\\ c=6 \enar\right. \enar\]

      On a donc, pour tout $x$ réel, $P(x)=(x-3)(x^2+3x+6)$.
    2. Le discriminant de $x^2+3x+6$ est $\Delta=9-24<0$ et donc,
      $${|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $3$ && $+\infty$ \\\hline $x-3$ && $-$ &\zb&$+$& \\\hline $x^2+3x+6$ && $+$ &$|$&$+$&\\\hline $P(x)$ && $-$ &\zb&$+$& \\\hline $$


  2. Pour tout $x\in\R\setminus\la-1;1\ra$, $f'(x) =\dfrac{3x^2\left( x^2-1\rp-\left( x^3+9\rp(2x)}{\left( x^2-1\rp^2} =\dfrac{x^4-3x^2-18x}{\left( x^2-1\rp^2} =x\dfrac{P(x)}{\left( x^2-1\rp^2} $

    $${|c|ccccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ &&$0$ &&$1$&& $3$ && $+\infty$ \\\hline $x$ && $-$ &$|$& $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &$|$& $+$ &$|$&$+$& \\\hline $P(x)$ && $-$ &$|$& $-$ &$|$ & $-$ &$|$& $-$ &\zb&$+$& \\\hline $\left( x^2-1\rp^2$ && $+$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ &\zb& $+$ &$|$&$+$& \\\hline $f'(x)$ && $+$ &\db& $+$ &\zb& $-$ &\db& $-$ &\zb&$+$& \\\hline &&&&&$-9$&&&&&&\\ $f$&& \psline{->}(-.4,-.4)(.4,.4)& \psline(0,0.8)(0,-0.6)\,\psline(0,0.8)(0,-0.6)& \psline{->}(-.4,-.4)(.4,.4)& & \psline{->}(-.4,.4)(.4,-.4)& \psline(0,0.8)(0,-0.6)\,\psline(0,0.8)(0,-0.6)& \psline{->}(-.4,.4)(.4,-.4)&& \psline{->}(-.4,-.4)(.4,.4)&\\ &&&&&&&&&$\dfrac92$&&\\ \hline $$




Tags:Fonctions et dérivées2nd degré

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