Variations d'une fonction produit et racine carrée

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la fonction

définie par l'expression $f(x)=(x+3)\sqrt{x^2+x+1}$ .
Après avoir précisé l'ensemble de définition de

, déterminer le sens de variation de

Correction

existe lorsque

. Ce trinôme du second degré a pour discriminant $\Delta=-3<0$ et n'adment donc aucune racine. On a ainsi le tableau de signe du trinôme

$\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && $+\infty$&\\\hline $x^2+x+1$&&$+$&&\\\hline\end{tabular}$

et la fonction

est donc définie sur $\mathcal{D}_f=\R$ .

Le sens de variation de la fonction est donné par le signe de sa dérivée.

est un produit:

avec

donc

, et $v(x)=\sqrt{x^2+x+1}$ donc $v=\sqrt{w}$ et alors $v'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$ soit $v'(x)=\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$ .
On dérive alors le produit:

, soit

$f'(x)=\sqrt{x^2+x+1}+(x+3)\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$

qu'on réécrit sur un seul et même dénominateur

$\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}^2+(x+3)(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}\\[1em] &=\dfrac{4x^2+9x+5}{2\sqrt{x^2+x+1}} \enar$

On cherche maintenant le signe de cette expression. Le dénominateur est strictement positif, une racine carrée qui ne s'annule pas (comme on l'a montré au début de l'exercice).
Le numérateur est un trinôme du second degré, de discriminant $\Delta=9^2-4\tm5\tm5=1>0$ et admet donc deux racines réelles distinctes $x_1=\dfrac{-9-1}{2\tm8}=-\dfrac54$ et $x_2=\dfrac{-9+1}{2\tm8}=-1$ .
On dresse alors le tableau de signe de

et de variation de

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-5/4$ && $-1$ && $+\infty$ \\\hline $4x^2+9x+5$ && $+$ &0 & $-$ &0& $+$ & \\\hline $2\sqrt{x^2+x+1}$ && $+$ &$|$&$+$ &$|$ & $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & \\\hline &&&&&&&\\ $f(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&& \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&& \psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}$

Tag:Fonctions et dérivées

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