Variations d'une fonction produit et racine carrée
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Énoncé
On considère la fonction 
définie par l'expression
.
Après avoir précisé l'ensemble de définition de
, déterminer le sens de variation de 
.
définie par l'expression
.
Après avoir précisé l'ensemble de définition de
, déterminer le sens de variation de .
Correction
existe lorsque 
.
Ce trinôme du second degré a pour discriminant 
et n'adment donc aucune racine. On a ainsi le tableau de signe du trinôme
![\[\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline
$x$ &$-\infty$ && $+\infty$&\\\hline
$x^2+x+1$&&$+$&&\\\hline\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvarsqrt_c/4.png)
et la fonction
est donc définie sur 
.
Le sens de variation de la fonction est donné par le signe de sa dérivée.
est un produit: 
avec
donc 
,
et 
donc 
et alors
soit
.
On dérive alors le produit:
, soit
![\[f'(x)=\sqrt{x^2+x+1}+(x+3)\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvarsqrt_c/16.png)
qu'on réécrit sur un seul et même dénominateur
![\[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}^2+(x+3)(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}\\[1em]
&=\dfrac{4x^2+9x+5}{2\sqrt{x^2+x+1}}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvarsqrt_c/17.png)
On cherche maintenant le signe de cette expression. Le dénominateur est strictement positif, une racine carrée qui ne s'annule pas (comme on l'a montré au début de l'exercice).
Le numérateur est un trinôme du second degré, de discriminant
et admet donc deux racines réelles distinctes
et 
.
On dresse alors le tableau de signe de
et de variation de 
:
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-5/4$ && $-1$ && $+\infty$ \\\hline
$4x^2+9x+5$ && $+$ &0 & $-$ &0& $+$ & \\\hline
$2\sqrt{x^2+x+1}$ && $+$ &$|$&$+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ & \\\hline
&&&&&&&\\
$f(x)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&&
\psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&&
\psline{->}(-0.4,-0.3)(0.6,0.6)&\\
&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvarsqrt_c/23.png)
Correction
existe lorsque .
Ce trinôme du second degré a pour discriminant et n'adment donc aucune racine. On a ainsi le tableau de signe du trinôme
et la fonction
est donc définie sur .
Le sens de variation de la fonction est donné par le signe de sa dérivée.
est un produit: avec
donc ,
et donc et alors
soit
.
On dérive alors le produit:
, soit
qu'on réécrit sur un seul et même dénominateur
On cherche maintenant le signe de cette expression. Le dénominateur est strictement positif, une racine carrée qui ne s'annule pas (comme on l'a montré au début de l'exercice).
Le numérateur est un trinôme du second degré, de discriminant
et admet donc deux racines réelles distinctes
et .
On dresse alors le tableau de signe de
et de variation de :
Tag:Fonctions et dérivées
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