Courbe, tangentes et points alignés
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Énoncé
Soit
la fonction définie sur
par l'expression :
, et
sa courbe
représentative dans un repère
.





-
- Étudier les variations de
puis tracer
.
- Discuter suivant les valeurs de
le nombre de solutions de l'équation
.
- Étudier les variations de
-
- Lorsque la droite d'équation
coupe
en deux points distincts
et
, calculer en fonction de
les coordonnées du point
milieu de
.
- On note
et
les points de
pour lesquels la tangente à
est horizontale.
Calculer les coordonnées deet
, et prouver que
,
, et
sont alignés.
- Lorsque la droite d'équation
Correction
Correction
-
-
est la différence des fonctions
, qui est dérivable sur
et
qui est dérivable sur
. On en déduit que
est dérivable sur
.
Pour,
.
Le numérateur est une expression du second degré, de racines évidenteset
, et on dresse alors le tableau de signe et de
et de variation de
:
On trace alors l'allure de la courbe représentative de.
-
- Si
, l'équation
admet deux solutions
et
- Si
, l'équation admet une unique solution
.
- Si
, l'équation n'admet aucune solution.
- Si
, l'équation admet une unique solution
.
- Si
, l'équation admet deux solutions
et
.
- Si
-
-
- La droite d'équation
coupe
en deux points distincts lorsque
ou
, et les points d'intersection sont
et
, où
et
sont tels que
.
et
sont solutions de l'équation
, soit
, ou encore
.
Le milieu dea alors pour coordonnées
.
Commeet
sont les racines du trinôme du second degré
, leur somme est:
.
Ainsi, le milieu dea alors pour coordonnées
.
- La tangente à
est horizontale seulement en
et
, car
.
Ainsi, les pointset
ont pour coordonnées
et
.
On a alors,et
, et comme
on en déduit que ces vecteurs sont colinéaires, et donc que,
et
sont alignés.
- La droite d'équation
Tag:Fonctions et dérivées
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