Courbe, tangentes et points alignés

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par l'expression : $f(x)=1-x-\dfrac1x$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
    1. Étudier les variations de $f$ puis tracer $\mathcal{C}$.
    2. Discuter suivant les valeurs de $m$ le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$.

    1. Lorsque la droite d'équation $y=m$ coupe $\mathcal{C}$ en deux points distincts $M$ et $N$, calculer en fonction de $m$ les coordonnées du point $I$ milieu de $[MN]$.
    2. On note $A$ et $B$ les points de $\mathcal{C}$ pour lesquels la tangente à $\mathcal{C}$ est horizontale.
      Calculer les coordonnées de $A$ et $B$, et prouver que $A$, $B$, et $I$ sont alignés.



Correction

Correction

    1. $f$ est la différence des fonctions $x\mapsto 1-x$, qui est dérivable sur $\R$ et $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ qui est dérivable sur $\R^*$. On en déduit que $f$ est dérivable sur $\R^*$.
      Pour $x\in\R^*$, $f'(x)=-1+\dfrac1{x}^2=\dfrac{-x^2+1}{x^2}$.
      Le numérateur est une expression du second degré, de racines évidentes $1$ et $-1$, et on dresse alors le tableau de signe et de $f'$ et de variation de $f$:
      \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $0$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline $-x^2+1$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline $x^2$ & &$+$& $|$ &$+$&\zb&$+$& $|$ &$+$ &\\\hline $f'(x)$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline &$+\infty$&&&&\hspace{-1cm}$+\infty$&&$-1$&&\\ $f$ &&\Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$} & \psline[linewidth=0.6pt](0,-0.6)(0,0.8) \,\psline[linewidth=0.6pt](0,-0.6)(0,0.8) & \Large{$\nearrow$} &&\Large{$\searrow$} & \\ &&&$3$&&&\hspace{-0.8cm}$-\infty$&&&$-\infty$\\\hline \end{tabular}\]


      On trace alors l'allure de la courbe représentative de $f$.

      \[\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-3,-5)(5,6) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-4,0)(4,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-6)(0,7) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1) \rput(-.1,-.1){$0$} \rput(1,-.3){1} \rput[r](-.2,1){1} \psplot{-4}{4}{1 x sub} \psplot[linewidth=1pt]{-4}{-0.18}{1 x sub 1 x div sub} \psplot[linewidth=1pt]{0.15}{4}{1 x sub 1 x div sub} \psline{<->}(-2.5,3)(0.5,3) \psline{<->}(-.5,-1)(2.5,-1) \end{pspicture}\]


      • Si $m<-1$, l'équation $f(x)=m$ admet deux solutions $x_1\in]0,1[$ et $x_2\in]1;+\infty[$
      • Si $m=-1$, l'équation admet une unique solution $x=1$.
      • Si $-1<m<3$, l'équation n'admet aucune solution.
      • Si $m=3$, l'équation admet une unique solution $x=-1$.
      • Si $m>3$, l'équation admet deux solutions $x_1\in]-\infty;-1[$ et $x_2\in]-1;0[$.


    1. La droite d'équation $y=m$ coupe $\mathcal{C}$ en deux points distincts lorsque $m<-1$ ou $m>3$, et les points d'intersection sont $M(x_1;m)$ et $N(x_2;m)$, où $x_1$ et $x_2$ sont tels que $f(x_1)=f(x_2)=m$.

      $x_1$ et $x_2$ sont solutions de l'équation $f(x)=m$, soit $\displaystyle 1-x-\frac{1}{x}=m$, ou encore $x^2+(m-1)x+1=0$.
      Le milieu de $[MN]$ a alors pour coordonnées $I\lp\dfrac{x_1+x_2}{2};m\rp$.
      Comme $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme du second degré $x^2+(m-1)x+1=0$, leur somme est: $\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-(m-1)=1-m$.


      Ainsi, le milieu de $[MN]$ a alors pour coordonnées $I\lp\dfrac{1-m}{2};m\rp$.
    2. La tangente à $\mathcal{C}$ est horizontale seulement en $x=-1$ et $x=1$, car $f'(-1)=f'(1)=0$.
      Ainsi, les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(-1;3)$ et $B(1;-1)$.


      On a alors, $\overrightarrow{AB}(2;-4)$ et $\dsp\overrightarrow{AI}(\frac{3-m}{2};m-3)$, et comme
      \[\det\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI}\rp=(m-3)-(-4)\dfrac{3-m}{2}=0\]

      on en déduit que ces vecteurs sont colinéaires, et donc que $A$, $B$ et $I$ sont alignés.


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