Variation d'une fonction rationnelle
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Énoncé
Dresser le tableau de variation de la fonction
définie sur
par
.



Correction
définie sur
par
.
On a
,
avec
soit
,
et donc,
,
![\[\begin{array}{ll}f'(x)
&=\dfrac{1\left( x^2+3\rp-\left( x+1\rp\left( 2x\rp}{(x^2+3)}\\
&=\dfrac{-x^2-2x+3}{(x^2+3)}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/8.png)
Le trinôme du numérateur a pour discriminant
,
et admet donc deux racines
et
.
![\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-3$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline
$-x^2-2x+3$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline
$\left( x^2+3\rp$ && $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline
&&&&&$\frac12$&&\\
$f$ && \psline{->}(-0.6,0.4)(0.3,-0.4)
&&\psline{->}(-0.4,-0.4)(0.4,0.4)
&&
\psline{->}(-0.3,0.4)(0.6,-0.4)&
\\
&&&$-\frac16$&&&&\\\hline
\end{tabular}
\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/12.png)
Correction
On considère la fonction


On a




![\[\begin{array}{ll}f'(x)
&=\dfrac{1\left( x^2+3\rp-\left( x+1\rp\left( 2x\rp}{(x^2+3)}\\
&=\dfrac{-x^2-2x+3}{(x^2+3)}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/8.png)
Le trinôme du numérateur a pour discriminant



![\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-3$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline
$-x^2-2x+3$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline
$\left( x^2+3\rp$ && $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline
&&&&&$\frac12$&&\\
$f$ && \psline{->}(-0.6,0.4)(0.3,-0.4)
&&\psline{->}(-0.4,-0.4)(0.4,0.4)
&&
\psline{->}(-0.3,0.4)(0.6,-0.4)&
\\
&&&$-\frac16$&&&&\\\hline
\end{tabular}
\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/exvar_c/12.png)
Tag:Fonctions et dérivées
Voir aussi:
Quelques devoirs
second degré (équation et inéquation, tableau de signe). Dérivabilité d'une fonction en un point: taux d'accroissement et nombre dérivé (calcul et lecture graphique)
fonctions dérivées, étude de fonction et position relative de deux courbes
dérivées et étude de fonction. Angles en radians sur le cercle trigonométrique et en mesure principale
second degré, factorisation d'un polynome du 3ème degré. Calculs de fonctions dérivées et équation d'une tangente
Mesure principale d'un angle en radians - Etude des variations d'une fonctions - Etude d'une fonction auxilaire et TVI