Variation d'une fonction rationnelle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Dresser le tableau de variation de la fonction

définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+3}$ .

Correction

On considère la fonction

définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+3}$ .
On a $f=\dfrac{u}{v}$ , avec $\la\begin{array}{ll} u(x)=x+1 \\ v(x)=x^2+3 \enar\right.$ soit $\la\begin{array}{ll} u'(x)=1 \\ v'(x)=2x \enar\right.$ , et donc, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ,

$\begin{array}{ll}f'(x) &=\dfrac{1\left( x^2+3\rp-\left( x+1\rp\left( 2x\rp}{(x^2+3)}\\ &=\dfrac{-x^2-2x+3}{(x^2+3)} \enar$

Le trinôme du numérateur a pour discriminant $\Delta=(-2)^2-4(-1)(3)=4^2>0$ , et admet donc deux racines

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-3$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline $-x^2-2x+3$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline $\left( x^2+3\rp$ && $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $f'(x)$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\\\hline &&&&&$\frac12$&&\\ $f$ && \psline{->}(-0.6,0.4)(0.3,-0.4) &&\psline{->}(-0.4,-0.4)(0.4,0.4) && \psline{->}(-0.3,0.4)(0.6,-0.4)& \\ &&&$-\frac16$&&&&\\\hline \end{tabular}$

Tag:Fonctions et dérivées

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