Etude de fonction avec exponentielles et position relative

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{2x}+6e^x$, et la droite $d$ d'équation $y=8x+4$.
  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
  2. On définit la fonction $g$ sur $\R$ par $g(x)=e^{2x}+6e^x-8x-4$.
    1. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $g'(x)=2(e^x-1)(e^x+4)$
    2. Dresser le tableau de variation de $g$.
    3. En déduire le tableau de signe de $g(x)$.

  3. Donner la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et de la droite $d$.



Correction

Correction

  1. Pour $u(x)=e^{2x}$, on a $u=e^v$ avec $v(x)=2x$ donc $v'(x)=2$ et alors $u'=v'e^v$ soit $u'(x)=2e^{2x}$. On a alors $f'(x)=2e^{2x}+6e^x$
    Comme $e^x>0$ pour tout réel $x$, on a donc $2e^{2x}>0$ et $6e^x>0$ et donc, en ajoutant des nombres, $f'(x)>0$.
    Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $\R$.
    1. On a $g(x)=f(x)-8x-4$ e donc
      \[\begin{array}{ll}g'(x)&=f'(x)-8\\ &=2e^{2x}+6e^x-8\enar\]


      Par ailleurs, en développant l'expression donnée, on trouve que
      \[\begin{array}{ll}2(e^x-1)(e^x+4)&=2\left( \left( e^x\rp^2+4e^x-e^x-4\rp\\[.4em] &=2\left( e^{2x}-3e^x-4\rp\\[.4em] &=g'(x) \enar\]


    2. On a $e^x-1>0\iff e^x>1=e^0 \iff x>0$ car l'exponentielle est strictement croissante.
      On a aussi $e^x>0$ et donc $e^x+4\geqslant4>0$.

      On peut alors dresser le tableau de signe de $f'(x)$ puis des variations de $f$:
      \[\begin{tabular}{|c|lcccc|}\hline x& $-\infty$ &&0&& $+\infty$ \\\hline $e^x-1$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline $e^x+4$ && $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $g'(x)$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline &&&&&\\ $g$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&3&&\\\hline \end{tabular}\]

      Le minimum de $g$ est $g(0)=e^0+6e^0-8\tm0-4=3$
    3. D'après ce qui précède, on a trouvé que le minimum de $f$ est 3, atteint en $x=0$.
      En particulier, pour tout réel $x$, on a $f'(x)\geqslant3>0$:
      \[\begin{tabular}{|c|lcc|}\hline x& $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline $g(x)$ && $+$ &\\\hline \end{tabular}\]


  3. La position relative de ces deux courbes est donnée par le signe de la différence qui est justument la fonction $g$ étudiée précédemment, soit le signe de
    \[g(x)=f(x)-(8x+4)\]

    Comme cette expression est toujours positive, on en déduit que la courbe de $f$ est toujours au-dessus de la droite $d$.


Tag:Exponentielle

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