Etude d'une fonction avec sinus et cosinus

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie par l'expression $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\cos x}$.
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
  2. Calculer la dérivée $f'$ de $f$.
  3. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]-\pi;\pi[$.



Correction

Correction

  1. On ne doit pas avoir $1+\cos x=0\iff \cos x=-1 \iff x=\pi+k2\pi$. Ainsi, $\mathcal{D}_f=\R\setminus\Bigl\{ (2k+1)\pi; k\in\Z\Bigr\}$.
  2. On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\cos x$ donc $u'(x)=-\sin x$, et $v(x)=1+\cos x$ donc $v'(x)=-\sin x$. On a alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
    soit, pour tout $x\in\mathcal{D}_f$,
    \[\begin{array}{ll} f'(x)&=\dfrac{-\sin x\lp1+\cos x\rp-\cos x\lp-\sin x\rp}{\lp1+\cos x\rp^2}\\ &=-\dfrac{\sin x}{\lp1+\cos x\rp^2}\enar\]


  3. En utilisant le cercle trigonométrique, on trouve le signe de $\sin x$ et donc de $f'(x)$:

    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\pi$ && 0 && $\pi$ \\\hline $\sin x$ & 0 & $-$ & 0 &$+$ & 0 \\\hline $(1+\cos x)^2$ & 0 & $+$ & $|$ & $+$ &0\\\hline $f'(x)$ && $+$ & 0 &$-$ & \\\hline &&&$\frac12$&& \\ $f$&\psline(0,1.4)(0,-.7)\psline(.09,1.4)(0.09,-.7)& \Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \psline(0,1.4)(0,-.7)\psline(.09,1.4)(0.09,-.7)\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]



Tags:TrigonométrieFonctions et dérivées

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