Etude d'une fonction avec sinus et cosinus

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit

la fonction définie par l'expression $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\cos x}$ .

Correction

On ne doit pas avoir $1+\cos x=0\iff \cos x=-1 \iff x=\pi+k2\pi$ . Ainsi, $\mathcal{D}_f=\R\setminus\Bigl\{ (2k+1)\pi; k\in\Z\Bigr\}$ .
On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\cos x$ donc $u'(x)=-\sin x$ , et $v(x)=1+\cos x$ donc $v'(x)=-\sin x$ . On a alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ,
soit, pour tout $x\in\mathcal{D}_f$ ,

$\begin{array}{ll} f'(x)&=\dfrac{-\sin x\lp1+\cos x\rp-\cos x\lp-\sin x\rp}{\lp1+\cos x\rp^2}\\ &=-\dfrac{\sin x}{\lp1+\cos x\rp^2}\enar$
En utilisant le cercle trigonométrique, on trouve le signe de $\sin x$ et donc de :

$\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\pi$ && 0 && $\pi$ \\\hline $\sin x$ & 0 & $-$ & 0 &$+$ & 0 \\\hline $(1+\cos x)^2$ & 0 & $+$ & $|$ & $+$ &0\\\hline $f'(x)$ && $+$ & 0 &$-$ & \\\hline &&&$\frac12$&& \\ $f$&\psline(0,1.4)(0,-.7)\psline(.09,1.4)(0.09,-.7)& \Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \psline(0,1.4)(0,-.7)\psline(.09,1.4)(0.09,-.7)\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}$