Variation d'une fonction homographique

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=\dfrac{2x-3}{4x-5}$.


Correction

Correction

On fait attention à l'ensemble de définition de cette fonction: ici la fonction $f$ est définie lorsque $4x-5\not=0$ donc pour tout réel $x\not=\dfrac54$. Son sens de variation est donné par le signe de sa dérivée.
On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x-3$ donc $u'(x)=2$, et $v(x)=4x-5$ donc $v'(x)=4$ et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit
\[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{2(4x-5)-(2x-3)4}{(4x-5)^2}\\ &=\dfrac2{(4x-5)^2} \enar\]

Comme pour tout $x\not=\dfrac54$ on a $(4x-5)^2>0$, on en déduit que $f'(x)>0$ et donc que $f$ est strictement croissante sur $\R\setminus\la\dfrac54\ra$:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $5/4$ && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ & &$+$ && $+$ &\\\hline &&&\psline(0,-1.25)(0,.9)\,\psline(0,-1.25)(0,.9)&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&\\\hline\end{tabular}\]



Tag:Fonctions et dérivées

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