Milieux des tangentes à une hyperbole

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit $f$ la fonction inverse, définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac1x$ et $\mathcal{H}$ sa courbe représentative dans un repère $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
Pour un réel $a\not=0$, on désigne par $A$ le point de $\mathcal{H}$ d'abscisse $a$.
On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{H}$ au point $A$, et $B$ et $C$ les points d'intersection de $T_a$ respectivement avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Montrer que $A$ est le milieu de $[BC]$.


Correction

Correction


\[\psset{arrowsize=9pt,unit=1.5cm}\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(8,4) \psline{->}(-5,0)(8,0) \psline{->}(0,-5)(0,4) \psplot{-5}{-.01}{1 x div} \psplot{.01}{7}{1 x div} \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,.5)(0,.5)\rput(2,-.2){$a$}\rput[r](-.2,.5){$1/a$} \rput(2.1,.7){$A$} % y=-1/2^2(x-2)+1/2=-.25x+1 \psplot{-1}{5}{-.25 x mul 1 add} \rput(4,-.2){$B$} \rput(.2,1.15){$C$} \end{pspicture*}\]


L'équation de la tangnete $T_a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit avec la dérivée $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$,
\[y=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)+\dfrac{1}{a} =-\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac{2}{a}\]


$T_a$ coupe l'axe des abscisses en $B\left( x_B;0\rp$ avec $0=-\dfrac{1}{a^2}x_B+\dfrac{2}{a} \iff x_B=2a$. Ainsi, $B(2a;0)$.
$T_a$ coupe l'axe des ordonnées en $C\left( 0;y_C\rp$ avec $y_C=-\dfrac{1}{a^2}\tm0+\dfrac{2}{a}$, d'où, $y_c=\dfrac{2}{a}$. Ainsi, $C\lp0;\dfrac2a\rp$
 
Les coordonnées du milieu $I$ de $[BC]$ sont alors
$x_I=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{2a+0}{2}=a$
et
$y_I=\dfrac{y_B+y_c}{2}=\dfrac{0+\dfrac2a}{2}=\dfrac1a$
soit $I\left( a;\dfrac{1}{a}\rp$, c'est-à-dire les coordonnées du point $A$.


Tag:Fonctions et dérivées

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