Calculs de fonctions dérivées composées

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Calculer la fonction dérivée des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par les expressions suivantes: $f(x)=\cos(2x-3)$, $g(x)=\sqrt{-2x^2+1}$ et $h(x)=xe^{-3x^2}$


Correction

Correction

On a $f=\cos(u)$ avec $u(x)=2x-3$ donc $u'(x)=2$
et alors $f'=-u'\sin(u)$ soit $f'(x)=-2\sin(2x-3)$


On a $g=\sqrt{u}$ avec $u(x)=-2x^2+1$ donc $u'(x)=-4x$
et alors $g'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ soit $g'(x)=\dfrac{-4x}{2\sqrt{-x^2+1}}=\dfrac{-2x}{\sqrt{-x^2+1}}$


On a $h=uv$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v=e^w$ avec $w(x)=-3x^2$ donc $w'(x)=-6x$, et donc $v'=w'e^w$ soit $w'(x)=-6xe^{-3x^2}$
En dérivant le produit, on a alors $h'=u'v+uv'$ soit
\[h'(x)=1e^{-3x^2}+x\lp-6xe^{-3x^2}\right) =\lp1-6x^2\right) e^{-3x^2} \]



Tags:Fonctions et dérivéesExponentielle

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