Calculs de dérivées

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Donner l'expression de la fonction dérivée $f'$ des fonctions $f$ suivantes (donner les expressions sous la forme d'une seule fraction).
a) $f(x)=x+2+\dfrac{2}{2x+3}$    ;    b) $g(x)=\lp3x^2-3x+17\rp^5$    ;    c) $h(x)=x\sqrt{3x+1}$


Correction

Correction

  1. On a $f=u+2\tm\dfrac1{v}$ avec $u(x)=x+2$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=2x+3$ et donc $v'(x)=2$ d'où $f'=u'+2\tm\dfrac{-v'}{v^2}$, soit
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=1+2\tm\dfrac{-2}{(2x+3)^2}\\[1em] &=\dfrac{(2x+3)^2-4}{(2x+3)^2}\\[1em] &=\dfrac{4x^2+12x+5}{(2x+3)^2} \enar\]


  2. On a $g=u^5$ avec $u(x)=3x^2-3x+17$ donc $u'(x)=6x-3$ et alors $g'=5u'u^4$ soit
    \[g'(x)=5(6x-3)\lp3x^2-3x+17\rp^4\]


  3. On a $h=uv$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\sqrt{3x+1}$ donc aussi $v=\sqrt{w}$ et donc $v'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$ soit $v'(x)=\dfrac3{2\sqrt{3x+1}}$ et enfin, $h'=u'v+uv'$ soit
    \[\begin{array}{ll}h'(x)&=\sqrt{3x+1}+x\dfrac3{2\sqrt{3x+1}}\\[1em] &=\dfrac{2(3x+1)+3x}{2\sqrt{3x+1}}\\[1em] &=\dfrac{9x+2}{2\sqrt{3x+1}} \enar\]



Tag:Fonctions et dérivées

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