Une équation complexe
Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale
Énoncé
Résoudre

Correction
, avec
et
, et alors l'équation
est équivalente à
![\[\begin{array}{ll}&(x+iy)^2+5=4i(x-iy)\\[.5em]
\iff& \left( x^2-y^2+5\right) +2ixy=4y+4ix
\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/5.png)
et donc, en identifiant les parties réelles et imaginaires, l'équation est équivalente au système
![\[\la\begin{array}{rcr}
x^2-y^2+5&=&4y\\
2xy&=&4x
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/6.png)
La 2ème équation donne
![\[2xy-4x=2x(y-2)=0\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/7.png)
soit
ou
.
Si
, la 1ère équation du système devient
![\[-y^2+5=4y\iff y^2+4y-5=0\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/11.png)
qui est une équation du second degré de discriminant
et qui admet donc deux solutions réelles distinctes
et
.
Si
, alors la 1ère équation du système devient
![\[x^2-4+5=8 \iff x^2=7\iff x=\pm\sqrt7\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/16.png)
L'équation de départ admet donc quatre solutions:
![\[\mathcal{S}=\Bigl\{i \,; -5i\,; \sqrt7+2i\,; \sqrt7-2i \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/17.png)
Correction
On pose



![\[\begin{array}{ll}&(x+iy)^2+5=4i(x-iy)\\[.5em]
\iff& \left( x^2-y^2+5\right) +2ixy=4y+4ix
\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/5.png)
et donc, en identifiant les parties réelles et imaginaires, l'équation est équivalente au système
![\[\la\begin{array}{rcr}
x^2-y^2+5&=&4y\\
2xy&=&4x
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/6.png)
La 2ème équation donne
![\[2xy-4x=2x(y-2)=0\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/7.png)
soit


Si

![\[-y^2+5=4y\iff y^2+4y-5=0\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/11.png)
qui est une équation du second degré de discriminant



Si

![\[x^2-4+5=8 \iff x^2=7\iff x=\pm\sqrt7\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/16.png)
L'équation de départ admet donc quatre solutions:
![\[\mathcal{S}=\Bigl\{i \,; -5i\,; \sqrt7+2i\,; \sqrt7-2i \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/exeq_c/17.png)
Tag:Nombres Complexes - Algébrique
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