Une équation complexe

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Résoudre $z^2+5=4i\bar{z}$


Correction

Correction

On pose $z=x+iy$, avec $x\in\R$ et $y\in\R$, et alors l'équation $z^2+5=4i\bar{z}$ est équivalente à
\[\begin{array}{ll}&(x+iy)^2+5=4i(x-iy)\\[.5em] \iff& \left( x^2-y^2+5\right) +2ixy=4y+4ix \enar\]

et donc, en identifiant les parties réelles et imaginaires, l'équation est équivalente au système
\[\la\begin{array}{rcr} x^2-y^2+5&=&4y\\ 2xy&=&4x \enar\right.\]

La 2ème équation donne
\[2xy-4x=2x(y-2)=0\]

soit $x=0$ ou $y=2$.
Si $x=0$, la 1ère équation du système devient
\[-y^2+5=4y\iff y^2+4y-5=0\]

qui est une équation du second degré de discriminant $\Delta=36>0$ et qui admet donc deux solutions réelles distinctes $y_1=\dfrac{-4-\sqrt{36}}2=-5$ et $y_2=1$.
Si $y=2$, alors la 1ère équation du système devient
\[x^2-4+5=8 \iff x^2=7\iff x=\pm\sqrt7\]


L'équation de départ admet donc quatre solutions:
\[\mathcal{S}=\Bigl\{i \,; -5i\,; \sqrt7+2i\,; \sqrt7-2i \Bigr\}\]



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