Une équation complexe (bis)

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

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Résoudre $z^2-2i\bar{z}=2$


Correction

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On pose $z=x+iy$, avec $x\in\R$ et $y\in\R$, et alors l'équation $z^2-2i\bar{z}=2$ est équivalente à
\[z^2-2i\bar{z}=\left( x^2-y^2-2y\rp+i\left(2xy-2x\rp\]

et donc, en identifiant les parties réelles et imaginaires, l'équation est équivalente au système
\[\la\begin{array}{rcr} x^2-y^2-2y&=&2\\ 2xy-2x&=&0 \enar\right.\]

La 2ème équation donne
\[2xy-2x=2x(y-1)=0\]

soit $x=0$ ou $y=1$.
Si $x=0$, la 1ère équation du système devient
\[-y^2-2y=2\iff y^2+2y+2=0\]

qui est une équation du second degré de discriminant $\Delta=-4<0$ et qui n'admet donc pas de solution réelle.
Si $y=1$, alors la 1ère équation du système devient
\[x^2=5 \iff x=\pm\sqrt5\]


L'équation de départ admet donc deux solutions: $z=-\sqrt5+i$ et $z=\sqrt5+i$.


Tag:Nombres Complexes - Algébrique

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