Une racine carrée complexe

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Déterminer les nombres complexes dont le carré est $4i$


Correction

Correction

On cherche les nombres complexes $z$ tels que $z^2=4i$.
On pose $z=x+iy$, avec $x\in\R$ et $y\in\R$ et l'équation devient alors
\[\begin{array}{ll}&z^2=4i\\\iff &(x+iy)^2=4i\\ \iff &x^2-y^2+2ixy=4i\enar\]


et donc, en identifiant les parties réelles et imaginaires, l'équation est équivalente au système
\[\la\begin{array}{rcr} x^2-y^2&=&0\\ 2xy&=&4 \enar\right.\]

La première équation donne $x^2=y^2$ soit $x=y$ ou $x=-y$.
Pour $x=y$, la deuxième équation devient alors $xy=x^2=2$ donc $x=\pm\sqrt2$.
Pour $x=-y$, la deuxième équation devient alors $xy=-x^2=2$ qui n'a pas de solution réelle.
Ainsi, les nombres complexes dont le carré vaut $4i$ sont $z_1=\sqrt2+i\sqrt2$ et $z_2=-\sqrt2-i\sqrt2=-z_1$


Tag:Nombres Complexes - Algébrique

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