Des équations complexes

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Résoudre dans $\C$ les équations suivantes en donnant les solutions sous forme algébrique:
$E_1: 2z + 2 - i = iz + 5$    $E_2:(7-i)\overline{z}=3$    $E_3:iz+2\overline{z}=1-i$    $E_4: 2z^2 - 6z + 5 = 0$    $E_5: z^2=2i$


Correction

Correction


$E_1: 2z + 2 - i = iz + 5 \iff z(2-i)=3+i \iff z=\dfrac{3+i}{2-i}=\dfrac{5+5i}5=1+i $



$E_2:(7-i)\overline{z}=3 \iff \overline{z}=\dfrac3{7-i}=\dfrac{21+3i}{50}=\dfrac{21}{50}+\dfrac{3}{50}i $

et donc en revenant au conjugué $z=\dfrac{21}{50}-\dfrac{3}{50}i$



$E_3:iz+2\overline{z}=1-i$. On pose $z=x+iy$ avec des réels $x$ et $y$.
On obtient alors $E_3\iff i(x+iy)+2(x-iy)=1-i \iff (-y+2x)+i(x-2y)=1-i$, puis en identifiant les parties réelles et imaginaires:
\[\la\begin{array}{lcl}2x-y&=&1\\x-2y&=&-1\enar\right.\]

et on trouve alors que $x=1$ et $y=1$ d'où finalement la solution $z=1+i$



$E_4: 2z^2 - 6z + 5 = 0$. Cette équation du second degré a pour discriminant $\Delta=-4<0$ et admet donc deux racines complexes: $z_1=\dfrac{6-i\sqrt4}{2\tm2}={6-2i}{4}=\dfrac32-\dfrac12i$ et son conjugué $z_2=\dfrac32+\dfrac12i$.



$E_5: z^2=2i$. On pose $z=x+iy$ avec des réels $x$ et $y$.
On obtient alors $E_5\iff (x+iy)^2=2i\iff (x^2-y^2)+i2xy=2i$, et alors, puis en identifiant les parties réelles et imaginaires:
\[\la\begin{array}{rcl}x^2-y^2&=&0\\xy&=&1\enar\right.\]

La première équation donne $x^2=y^2$ soit $x=y$ ou $x=-y$.
Si $x=y$, alors la deuxième équation donne $xy=1\iff x^2=1$ soit $x=1$ ou $x=-1$.
Si $x=-y$, alors la deuxième équation donne $xy=1\iff -x^2=1$ qui est impossible puisque $x$ est un nombre réel.
On a donc finalement trouvé deux solutions: $z=1+i$ et $z=-1-i$.


Tag:Nombres Complexes - Algébrique

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