Produit de matrices et inverse

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

Soit $x$ un nombre réel. On considère la matrice $M(x)=\lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\-x^2&1&x\\-2x&0&1\enar\rp$
  1. Soit $x$ et $y$ deux nombres réels. Calculer $M(x)M(y)$ t montrer qu'il est égal à $M(x+y)$.
  2. En déduire que pour tout réel $x$, la matrice $M(x)$ est inversible et donner sa matrice inverse.



Correction

Correction


  1. \[\begin{array}{ll}M(x)M(y)&= \lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\-x^2&1&x\\-2x&0&1\enar\rp\lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\-y^2&1&y\\-2y&0&1\enar\rp\\[2em] &=\lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\-x^2-y^2-2xy&1&x+y\\-2x-2y&0&1\enar\rp\\[2em] &=\lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\-(x+y)^2&1&x+y\\-2(x+y)&0&1\enar\rp\\[2em] &=M(x+y) \enar\]

  2. On cherche une matrice $A$ telle que $M(x)A=I_3$, avec $I_3$ la matrice identité d'ordre 3.
    En utilisant les matrices $M(x)$, on voit que $I_3=M(0)$.
    D'après le résultat de la question précédente, on a alors que
    \[M(x)M(-x)=M(x-x)=M(0)=I_3\]

    ce qui montre que la matrice $M(x)$ est bien inversible, d'inverse
    \[M(x)^{-1}=M(-x)\]



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