Diagonalisation et matrice puissance limite

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère les matrices $A=\lp\begin{array}{cc}\dfrac13&0\\[1em]-\dfrac13&1\enar\rp$ et $P=\lp\begin{array}{cc}2&0\\1&1\enar\rp$.
  1. Montrer que $P$ est inversible et donner sa matrice inverse $P^{-1}$.
  2. Calculer la matrice $D=P^{-1}AP$.
  3. Calculer $D^2$, $D^3$ puis donner $D^n$ (sans justification supplémentaire).
  4. Donner l'expression de $A^n$ en fonction de $D$ et $P$.
  5. On note $A^\infty$ et $D^\infty$ les matrices limites des matrices $A^n$ et $D^n$, c'est-à-dire $A^\infty=\dsp\lim_{n\to+\infty}A^n$ et $D^\infty=\dsp\lim_{n\to+\infty}D^n$.
    Déterminer $A^\infty$.
  6. On définit les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ par $x_0=1$ et $y_0=1$ puis par les relations de récurrence
    \[\la\begin{array}{ll}x_{n+1}&=\dfrac13x_n\\[.9em]y_{n+1}&=-\dfrac13x_n+y_n\enar\right.\]

    Déterminer les limites de ces deux suites.



Correction

Correction

  1. On a $\det(P)=2\not=0$ et donc $P$ est bien inversible, d'inverse
    \[P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&0\\-1&2\enar\rp\]


  2. On calcule les deux produits, successivement,
    \[\begin{array}{ll}D&=P^{-1}AP\\ &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&0\\-1&2\enar\right) \lp\begin{array}{cc}\dfrac13&0\\[1em]-\dfrac13&1\enar\right) P\\[2em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}\dfrac13&0\\[1em]-1&2\enar\rp\lp\begin{array}{cc}2&0\\1&1\enar\rp\\[2em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}\dfrac23&0\\[1em]0&2\enar\right) \enar\]

    et on trouve donc la matrice diagonale $D=\lp\begin{array}{cc}\dfrac13&0\\[1em]0&1\enar\rp$
  3. On calcule facilement que
    \[D^2=\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac13\rp^2&0\\[1em]0&1\enar\rp\]

    et
    \[D^3=\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac13\rp^3&0\\[1em]0&1\enar\rp\]

    qu'on généralise à
    \[D^n=\lp\begin{array}{cc}\lp\dfrac13\rp^n&0\\[1em]0&1\enar\rp\]


  4. On a la relation
    \[D=P^{-1}AP \iff PDP^{-1}=A\]

    et alors
    \[\begin{array}{ll}A^n&=\underbrace{A\,A\,A\,\dots\,A}_{n \text{termes}}\\[1.6em] &=PA\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}D\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}DP{-1}\dots\,\underbrace{P^{-1}P}_{=I_2}DP^{-1}\\[1.6em] &=PD^nP^{-1} \enar\]

  5. Comme $-1<\dfrac12<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$ et donc
    \[D^\infty=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&1\enar\rp\]

    et alors, en passant à la limite dans les produits
    \[\begin{array}{ll}A^\infty&=PD^\infty P^{-1}\\ &=\lp\begin{array}{cc}2&0\\1&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&1\enar\rp P^{-1}\\[1.2em] &=\lp\begin{array}{cc}0&0\\0&1\enar\rp\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&0\\-1&2\enar\rp\\[1.2em] &=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}0&0\\-1&2\enar\rp\\[1.2em] &=\lp\begin{array}{cc}0&0\\-\dfrac12&1\enar\right) \enar\]


  6. On pose $U_n=\lp\begin{array}{c}x_n\\y_n\enar\rp$, et alors on a $U_0=\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$ et les relations de récurrence s'écrivent matriciellement
    \[U_{n+1}=AU_n\]

    Il s'agit donc d'une suite géométrique, et on a directement pour tout entier $n$,
    \[U_n=A^nU_0\]

    et, avec les calculs précédents, on trouve la limite
    \[\begin{array}{ll}\dsp\lim_{n\to+\infty}U_n&=D^\infty U_0\\ &=\lp\begin{array}{cc}0&0\\-\dfrac12&1\enar\rp\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp\\[1.5em] &=\lp\begin{array}{c}0\\\dfrac12\enar\right) \enar\]

    c'est-à-dire, en revenant aux suites de l'énoncé,
    \[\begin{array}{ll}\dsp\lim_{n\to+\infty}x_n=0\\\dsp\lim_{n\to+\infty}y_n=\dfrac12\enar\]




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