Diagonalisation et suite géométrique

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère la matrice $M=\dfrac14\lp\begin{array}{cc}2&3\\0&1\enar\rp$.
On cherche à exprimer la matrice $M^n$ explicitement en fonction de $n$.
On considère la matrice $P=\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp$.
  1. Montrer que $P$ est sa propre inverse.
  2. Montrer que la matrice $D=PMP$ est une matrice diagonale.
    En déduire que $M=PDP$.
  3. Montrer que, pour tout entier $n$, $M^n=PD^nP$.
  4. En déduire l'expression de $M^n$ en fonction de $n$.
  5. On définit la suite $(U_n)$ par $U_0=\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$, puis, pour tout entier $n$, $U_{n+1}=MU_n$.
    1. Calculer $U_1$ et $U_2$.
    2. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.



Correction

Correction

On considère les matrices $M=\dfrac14\lp\begin{array}{cc}2&3\\0&1\enar\rp$ et $P=\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp$.
  1. $P$ est sa propre inverse si $P^{-1}=P$, c'est-à-dire si $PP^{-1}=PP=P^2=I_2$.
    On calcule donc
    \[P^2=\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp =\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&1\enar\right) \]

    ce qui montre bien que $P$ est inversible et qu'elle est sa propre inverse.
  2. On calcule ce produit matriciel (dans l'ordre souhaité, car le produit est associatif, mais attention, sans permuter deux matrices car le produit n'est par contre pas commutatif)
    \[\begin{array}{ll}D=PMP\\ &=\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp\dfrac14\lp\begin{array}{cc}2&3\\0&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp\\[1.2em] &=\dfrac14\lp\begin{array}{cc}2&6\\0&-1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp\\[1.2em] &=\dfrac14\lp\begin{array}{cc}2&0\\0&1\enar\right) \enar\]


    est bien une matrice diagonale.


    On en déduit, multipliant à gauche par $P$ et avec $P^2=I_2$, que
    \[D=PMP\iff PD=P^2MP=MP\]

    puis en multipliant à droite par $P$,
    \[PDP=MP^2=M\]

    d'où $M=PDP$.
  3. On a donc
    \[M^n=(PDP)^n =(PDP)(PDP)\dots(PDP)\]

    soit, comme le produit matriciel est associatif,
    \[\begin{array}{ll}M^n&=PD\underbrace{PP}_{=I_2}D\underbrace{PP}_{=I_2}D\dots DP\\ &=PDD\dots DP\\ &=PD^nP \enar\]


  4. On a facilement
    \[D^n=\dfrac1{4^n}\lp\begin{array}{cc}2^n&0\\0&1^n\enar\rp=\dfrac1{4^n}\lp\begin{array}{cc}2^n&0\\0&1\enar\rp\]

    et donc
    \[\begin{array}{ll}M^n=PD^nP &=\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp\dfrac1{4^n}\lp\begin{array}{cc}2^n&0\\0&1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp\\[1.2em] &=\dfrac1{4^n}\lp\begin{array}{cc}2^n&3\\0&-1\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\enar\rp\\[1.2em] &=\dfrac1{4^n}\lp\begin{array}{cc}2^n&3\tm\lp2^n-1\rp\\0&1\enar\rp \end{array} \]


  5. On définit la suite $(U_n)$ par $U_0=\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$, puis, pour tout entier $n$, $U_{n+1}=MU_n$.
    1. $U_1=MU_0=\dfrac14\lp\begin{array}{cc}2&3\\0&1\enar\rp\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp =\dfrac14\lp\begin{array}{c}5\\1\enar\rp$
      et $U_2=MU_1=\dfrac1{4^2}\lp\begin{array}{cc}2&3\\0&1\enar\rp\lp\begin{array}{c}5\\1\enar\rp =\dfrac1{4^2}\lp\begin{array}{c}13\\1\enar\rp$
    2. $(U_n)$ est une suite géométrique, donc pour tout entier $n$,
      \[U_n=M^nU_0\]

      soit, d'après la question précédente,
      \[\begin{array}{ll}U_n&=\dfrac1{4^n}\lp\begin{array}{cc}2^n&3\tm\lp2^n-1\rp\\0&1\enar\rp\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp\\[1.2em] &=\dfrac1{4^n}\lp\begin{array}{c}2^n+3\lp2^n-1\rp\\1\enar\rp \enar\]

      (résultat qu'on peut vérifier pour les cas $n=0$, $n=1$ et $n=2$)


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