Puissance n-ième d'une matrice, par récurrence, et limites suites récurrentes imbriquées

Exercice corrigé - Maths expertes, terminale générale

Énoncé

On considère la matrice carrée $A=\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp$.
  1. Calculer $A^2$.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$.
  3. Déterminer les limites des suites $\left( x_n\rp$ et $\left( y_n\rp$ définies, pour tout entier $n$, par
    \[ x_0=1\ ;\ y_0=-5 \quad\text{ et, }\quad \la\begin{array}{ll}x_{n+1}=x_n+2y_n\\y_{n+1}=3y_n\enar\right. \]




Correction

Correction

  1. $A^2=\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp=\lp\begin{array}{cc}1&8\\0&9\enar\rp$
  2. On peut démontrer cette propriété par récurrence.
    Initialisation. Pour $n=1$, on a $\lp\begin{array}{cc}1&3^1-1\\0&3^1\enar\rp=\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp=A=A^1$, est la propriété est donc initialement vraie au rang $n=0$.
    Hérédité. Supposons que pour un entier $n\geqslant1$ on ait $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$.
    Alors, au rang $n+1$,
    \[\begin{array}{ll}A^{n+1}&=A^n\,A =\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp\lp\begin{array}{cc}1&2\\0&3\enar\rp\\[.6cm] &=\lp\begin{array}{cc}1&1\tm2+\lp3^n-1\rp\tm3\\0&3^n\tm3\enar\rp\\[.6cm] &=\lp\begin{array}{cc}1&2+3^{n+1}-3\\0&3^{n+1}\enar\right) =\lp\begin{array}{cc}1&3^{n+1}-1\\0&3^{n+1}\enar\right) \enar\]

    ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang $n+1$.
    Conclusion. On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $A^n=\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\rp$.
  3. Sous forme matricielle, en introduisant la suite $\left( X_n\rp$ définie pour tout entier naturel $n$ par $X_n=\lp\begin{array}{c}x_n\\y_n\enar\rp$, on a
    \[\la\begin{array}{ll}x_{n+1}=x_n+2y_n\\y_{n+1}=3y_n\enar\right. \iff X_{n+1}=AX_n \]

    Ainsi, $\left( X_n\rp$ est une suite géométrique, et donc, pour tout entier $n$, $X_n=A^nX_0$ avec $X_0=\lp\begin{array}{c}x_0\\y_0\enar\rp=\lp\begin{array}{c}1\\-5\enar\rp$.
    D'après le résultat de la question précédente, on a donc

    \[X_n=\lp\begin{array}{c}x_n\\y_n\enar\right) =\lp\begin{array}{cc}1&3^n-1\\0&3^n\enar\right) \lp\begin{array}{c}1\\-5\enar\right) =\lp\begin{array}{cc}1-5\lp3^n-1\rp\\-5\tm3^n\enar\rp \]

    soit
    \[\la\begin{array}{ll} x_n&=1-5(3^n-1)=-5\tm3^n+6\\[.3cm] y_n&=-5\tm3^n \enar\right.\]

    Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}5^n=+\infty$, on a alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}x_n=-\infty$ et de même $\dsp\lim_{n\to+\infty}y_n=-\infty$


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