Réviser, approfondir son année de terminale
et préparer son entrée en prépa (et/ou ailleurs aussi)
Calcul numérique et algébrique général
Tous les résultats de calculs doivent être simplifiés. Même si "simple" et "simplifié" (on non) sont assez subjectifs, quelques règles pour les exercices qui suivent (et ensuite toute votre vie mathématique...)
- on factorise toujours, le plus possible
par exemple:
- on utilise le moins de fractions possible (on réduit les sommes de plusieurs fractions en utilisant un dénominateur commun), et avec un trait de fraction le plus court possible,
par exemple:
Exercice 1
On pose ![$f(x)=x\dfrac{x^{10}-1}{x-1}$](doc-I-light-IMG/3.png)
Présenter sous la forme la plus simple
![$f(2)$](doc-I-light-IMG/4.png)
![$f(3)$](doc-I-light-IMG/5.png)
![$f\lp\dfrac1x\rp$](doc-I-light-IMG/6.png)
![$f(-x)$](doc-I-light-IMG/7.png)
![$f\lp\dfrac32\rp$](doc-I-light-IMG/8.png)
Exercice 2
![$A=\dfrac{\dfrac13+3}{\dfrac16+6}$](doc-I-light-IMG/14.png)
![$B=3\tm\dfrac{2+\dfrac12}{2-\dfrac12}$](doc-I-light-IMG/15.png)
![$C=2\tm\dfrac{\dfrac{7}{2}+1}{\dfrac34-5}-\dfrac53$](doc-I-light-IMG/16.png)
![$D(x)=3+\dfrac{6}{x+2}$](doc-I-light-IMG/17.png)
![$E=\dfrac{\dfrac3{10}\tm\dfrac{15}{\dfrac92}}{\dfrac9{15}\tm\dfrac52}$](doc-I-light-IMG/18.png)
![$F(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$](doc-I-light-IMG/19.png)
![$G(x)=\dfrac{7}{x^2+3}-1$](doc-I-light-IMG/20.png)
![$H(x)=-2-\dfrac{3x-1}{x-2}$](doc-I-light-IMG/21.png)
![$I(x)=\dfrac{\dfrac{3x}{2}-5}{\dfrac{x}{3}+3}$](doc-I-light-IMG/22.png)
![$J=\dfrac{\dfrac{a^2}{3b}}{\dfrac{ac}{6b}}$](doc-I-light-IMG/23.png)
![$K(x)=2x-1+\dfrac{3x}{2x-1}$](doc-I-light-IMG/24.png)
![$L(x)=-x+2-\dfrac13\tm\dfrac{2x}{x+2}$](doc-I-light-IMG/25.png)
![$M=\lp\sqrt{12}-\sqrt3\rp^2$](doc-I-light-IMG/26.png)
![$N=\lp3\sqrt2\rp^2-\lp\sqrt2-1\rp^2$](doc-I-light-IMG/27.png)
![$N'=\lp\sqrt{7-4\sqrt3}-\sqrt{7-4\sqrt3}\rp^2$](doc-I-light-IMG/28.png)
![$P=\dfrac{\lp1-\sqrt3\rp^2}{2-\sqrt3}$](doc-I-light-IMG/29.png)
![$Q=\dfrac{3\sqrt2-2\sqrt3}{\sqrt6}$](doc-I-light-IMG/30.png)
![$R=3-\dfrac{3+2\sqrt3}{\sqrt3}$](doc-I-light-IMG/31.png)
![$S=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}+5}{\sqrt{3}-\dfrac12}$](doc-I-light-IMG/32.png)
![$T=\dfrac{1}{\sqrt2-1}-\dfrac{1}{\sqrt2+1}$](doc-I-light-IMG/33.png)
![$U=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$](doc-I-light-IMG/34.png)
![$V=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}-\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$](doc-I-light-IMG/35.png)
![$W=\dfrac{\dfrac1{1+\dfrac1{1+\frac12}}}{\dfrac1{1+\dfrac1{1-\frac12}}}$](doc-I-light-IMG/36.png)
![$X=\dfrac{2+\dfrac{2+a}{2-a}}{2-\dfrac{2+a}{2-a}}$](doc-I-light-IMG/37.png)
Récurrence
Exercice 3
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel ![$n$](doc-I-light-IMG/62.png)
-
-
-
, pour
-
-
est multiple de 3
- On pose
et
, puis
pour tout entier
.
Montrer que.
- On pose
et, pour tout entier
,
.
Montrer que.
Le schéma d'une démonstration par récurrence d'une propriété
, pour tout entier
est:
Initialisation. on montre que
est vraie (ou
, ou
, ... )
Hérédité. On suppose que
est vraie pour un certain entier
, ce qui s'appelle l'hyptothèse de récurrence, et on montre que la propriété suivante
est alors aussi vraie.
Conclusion. Le principe de récurrence (ou le théorème cf., par exemple, cette démonstration) permet alors d'affirmer que toutes les propriétés
, pour tout entier
, sont vraies.
![$P_n$](doc-I-light-IMG/78.png)
![$n$](doc-I-light-IMG/79.png)
Initialisation. on montre que
![$P_0$](doc-I-light-IMG/80.png)
![$P_1$](doc-I-light-IMG/81.png)
![$P_2$](doc-I-light-IMG/82.png)
Hérédité. On suppose que
![$P_n$](doc-I-light-IMG/78.png)
![$n$](doc-I-light-IMG/84.png)
![$P_{n+1}$](doc-I-light-IMG/85.png)
Conclusion. Le principe de récurrence (ou le théorème cf., par exemple, cette démonstration) permet alors d'affirmer que toutes les propriétés
![$P_n$](doc-I-light-IMG/86.png)
![$n$](doc-I-light-IMG/87.png)
Sommes
Exercice 4
Donner une expression simplifiée (et sans somme) de la somme des entiers impairs
![\[S_n=\sum_{k=1}^n(2k-1)\]](doc-I-light-IMG/88.png)
![$S_n=n^2$](doc-I-light-IMG/89.png)
Exercice 5
On pose, pour tout entier ![$n$](doc-I-light-IMG/90.png)
![$\dsp u_n=\sum_{k=n}^{2n}\dfrac1k$](doc-I-light-IMG/91.png)
Étudier le sens de variation de
![$(u_n)$](doc-I-light-IMG/92.png)
On exprime
, (attention la somme pour
va jusqu'à
, et donc la différence
contient deux termes), puis son signe (strictement positif ici).
![$u_{n+1}-u_n$](doc-I-light-IMG/93.png)
![$u_{n+1}$](doc-I-light-IMG/94.png)
![$2(n+1)=2n+2$](doc-I-light-IMG/95.png)
![$u_{n+1}-u_n$](doc-I-light-IMG/96.png)
Exercice 6
On note ![$H_n$](doc-I-light-IMG/97.png)
![$n\geqslant1$](doc-I-light-IMG/98.png)
![$\dsp H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1k$](doc-I-light-IMG/99.png)
Montrer que, pour tout entier
![$n\geqslant2$](doc-I-light-IMG/100.png)
![\[\sum_{k=1}^{n-1}H_k=nH_n-n\]](doc-I-light-IMG/101.png)
Exercice 7
En utilisant la formule de la somme des termes d'une suite géométrique et la dérivation,
calculer, pour ![$x$](doc-I-light-IMG/102.png)
![$n\in\N^*$](doc-I-light-IMG/103.png)
![\[S(x)=\sum_{k=0}^nkx^k\]](doc-I-light-IMG/104.png)
En dérivant
, qui est un polynôme et aussi une somme géométrique donc dont on connaît l'expression (et qu'on sait aussi dériver), on obtient
![$R(x)=\dsp\sum_{k=0}^n{x^k}$](doc-I-light-IMG/105.png)
![$\dfrac1xS(x)$](doc-I-light-IMG/106.png)
Exercice 8
Montrer que, pour tout réel ![$x>0$](doc-I-light-IMG/107.png)
![$\dfrac1{x(x+1)}=\dfrac1x-\dfrac1{x+1}$](doc-I-light-IMG/108.png)
En déduire une expression de la somme
![\[S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1{k(k+1)}\]](doc-I-light-IMG/109.png)
et la limite de cette somme lorsque
![$n\to+\infty$](doc-I-light-IMG/110.png)
![$S_n=1-\dfrac1{n+1}$](doc-I-light-IMG/111.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}S_n=1$](doc-I-light-IMG/112.png)
Exercice 9
Simplifier le produit
![\[P_n=\prod_{k=2}^n\lp1-\dfrac1k\rp\]](doc-I-light-IMG/113.png)
![$P_n=\dfrac1n$](doc-I-light-IMG/114.png)
Voir aussi: