Produit scalaire et géométrie analytique du plan


On se place dans toute la suite dans un repère orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.

Expression du produit scalaire


Propriété
Soit dans un repère orthonormal, $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$. Alors, $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$


Remarque: On a alors aussi, $\vec{u}^2=\|\vec{u}\|^2=x^2+y^2$ soit,   $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.


Exercices


Exercice 1
  1. Soit $\vec{u}(3;2)$ et $\vec{v}(-6;1)$. Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ et les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.

    En déduire l'angle $\lp\vec{u},\vec{v}\rp$.

  2. Soit $A(2;3)$, $B(-1;2)$ et $C(1;1)$.
    Calculer le produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{AC}$, puis les normes $AB$ et $AC$.
    En déduire l'angle $\widehat{BAC}$.



Exercice 2
Dans un RON, on considère les points $A(1;1)$, $B(-1;2)$ et $C(-3;0)$.
Donner une valeur de $\widehat{ABC}$ à 0,1 degré près.



Exercice 3
Dans un RON (repère orthonormal), on considère les points $A(1;1)$, $B(-1;2)$ et $C(-3;0)$. Soit de plus $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$.
  1. Faire une figure.
  2. Calculer l'angle $\widehat{ABC}$.
  3. Calculer la longueur $BH$.



Exercice 4
Soit $ABCD$ un carré, et $I$ et $J$ les points tels que $\V{BI}=\dfrac{1}{5}\V{BC}$ et $\V{CJ}=\dfrac{1}{5}\V{CD}$.
\[\psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(3,2.9) \pspolygon(0,0)(2.5,0)(2.5,2.5)(0,2.5) \rput(-0.2,2.7){$A$}\rput(2.7,2.7){$B$} \rput(2.7,-0.2){$C$}\rput(-0.2,-0.2){$D$} \psline(0,2.5)(2.5,2)\rput(2.7,2){$I$} \psline(2,0)(2.5,2.5)\rput(1.9,-0.25){$J$} \end{pspicture}\]

En utilisant le repère orthonormal $\lp O;\V{DA},\V{DC}\rp$, montrer que les droites $(AI)$ et $(BJ)$ sont perpendicualires.


Voir aussi:
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