Réviser, approfondir son année de terminale
et préparer son entrée en prépa (et/ou ailleurs aussi)
Exponentielle, ln, suite, intégrales, ... de tout à la fois
Exercice 22
Soit ![$F$](doc-IV-light-IMG/1.png)
![$]0;+\infty[$](doc-IV-light-IMG/2.png)
![$\dsp F(x)=\int_1^x\dfrac{e^t}{t}dt$](doc-IV-light-IMG/3.png)
- Déterminer le sens de variation de
.
- Prouver que, pour tout
,
.
En déduire, pour, le signe de
.
- Déduire de cette étude le comportement de
en
.
- Que vaut
? quel est son signe ?
- La fonction exponentielle est strictement croissante donc pour
..., puis en divisant par
...
En intégrant l'inégalité précédente ... -
puis par le (corollaire du) théorème des gendarmes,
Exercice 23
On s'intéresse à la valeur de la limite de la somme
![\[\bgar{ll}S_n&=\dsp\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k+1}\\
&=1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+ \dots + \dfrac{(-1)^n}{n+1}\enar\]](doc-IV-light-IMG/39.png)
L'objectif est de montrer que cette somme converge, lorsque
![$n\to+\infty$](doc-IV-light-IMG/40.png)
Remarque: cette limite se note alors
![\[\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k+1}\]](doc-IV-light-IMG/41.png)
et s'appelle une série. Il s'agit ici en plus d'une série courante: la série harmonique alternée
- Soit
, montrer que
- En déduire que
- Montrer que
- Conclure que
- Il s'agit de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison
.
- On intègre terme à terme, grâce à la linéarité de l'intégrale, l'égalité précédente entre 0 et 1.
- On encadre, pour
, on a
et
d'où
puis, en multipliant paret enfin comme l'intégrale conserve l'ordre, on intègre chaque terme de cette dernière inégalité.
- On utilise alors le théorème des gendarmes pour l'inégalité précédente et l'égalité de la question 2.
Exercice 24
Pour tout entier naturel ![$n$](doc-IV-light-IMG/53.png)
![$f_n$](doc-IV-light-IMG/54.png)
![$\R$](doc-IV-light-IMG/55.png)
![\[f_n(x)=\dfrac{4e^{nx}}{e^{nx}+7}\]](doc-IV-light-IMG/56.png)
On désigne par
![$\mathcal{C}_n$](doc-IV-light-IMG/57.png)
![$f_n$](doc-IV-light-IMG/58.png)
- Étude de la fonction
- Vérifier que, pour tout réel
,
.
- Démontrer que la courbe
admet deux asymptotes dont on précisera les équations.
- Démontrer que la fonction
est strictement croissante sur
.
- Démontrer que, pour tout réel
, on a
.
- Démontrer que le point
de coordonnées
est un centre de symétrie de la courbe
.
- Déterminer une primitive de la fonction
sur
et en déduire la valeur moyenne de
sur l'intervalle
.
- Vérifier que, pour tout réel
- Étude de certaines propriétés de la fonction
.
- Démontrer que pour tout entier
non nul, le point
appartient à la courbe
.
- Démontrer que, pour tout entier
non nul, la courbe
et la droite d'équation
ont un unique point d'intersection
dont on précisera l'abscisse.
- Déterminer une équation de la tangente
à la courbe
au point
.
- Soit la suite
définie, pour tout entier naturel
, par:
Montrer que cette suite est constante.
- Démontrer que pour tout entier
Voir aussi: