Produit scalaire - Géométrie vectorielle
Produit scalaire dans le plan
Cours: définitions et propriétés
Définition
Soit ![$\vec{u}$](Cours-IMG/1.png)
![$\vec{v}$](Cours-IMG/2.png)
![$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\tm\|\vec{v}\|\tm\cos\lp \vec{u},\vec{v}\rp$](Cours-IMG/3.png)
Comme
![$\cos(0)=1$](Cours-IMG/4.png)
![$\cos(\pi)=-1$](Cours-IMG/5.png)
![$\cos\lp\dfrac\pi2\rp=0$](Cours-IMG/6.png)
- Le carré scalaire de
est
- Si
et
sont colinéaires de même sens:
- Si
et
sont colinéaires de sens contraires:
- Pour
et
deux vecteurs non nuls:
Remarque: Ce n'est pas un produit qui est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul, c'est un produit scalaire nul !
Propriété
Pour tous vecteurs ![$\vec{u}$](Cours-IMG/18.png)
![$\vec{v}$](Cours-IMG/19.png)
![$\vec{w}$](Cours-IMG/20.png)
![$k$](Cours-IMG/21.png)
Propriété: Produit scalaire et projection
Soit ![$A$](Cours-IMG/25.png)
![$B$](Cours-IMG/26.png)
![$C$](Cours-IMG/27.png)
![$C'$](Cours-IMG/28.png)
![$C$](Cours-IMG/29.png)
![$(AB)$](Cours-IMG/30.png)
![\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3.5,1.5)\pspolygon(0,0)(3,0)(2,1)\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1)\rput(-0.2,-0.2){$A$}\rput(2,-0.25){$C'$}\rput(3.2,-0.2){$B$}\rput(2,1.3){$C$}\end{pspicture}\]](Cours-IMG/31.png)
On a alors
![\[\V{AB}\cdot\V{AC}= \V{AB}\cdot\V{AC'}\]](Cours-IMG/32.png)
Exercices
Exercice 1
![$A$](Cours-IMG/33.png)
![$B$](Cours-IMG/34.png)
![$C$](Cours-IMG/35.png)
![$D$](Cours-IMG/36.png)
En utilisant la relation de Chasles, démontrer que
![$\V{AB}\cdot\V{CD}+\V{AC}\cdot\V{DB}+\V{AD}\cdot\V{BC}=0$](Cours-IMG/37.png)
Exercice 2
Soit ![$\vec{u}$](Cours-IMG/42.png)
![$\vec{v}$](Cours-IMG/43.png)
![\[\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac12\Bigg[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\Bigg]\]](Cours-IMG/44.png)
Exercice 3
Soit ![$ABCD$](Cours-IMG/47.png)
![$I$](Cours-IMG/48.png)
![$J$](Cours-IMG/49.png)
![$\V{BI}=\dfrac{1}{5}\V{BC}$](Cours-IMG/50.png)
![$\V{CJ}=\dfrac{1}{5}\V{CD}$](Cours-IMG/51.png)
![\[\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4,2.5)
\pspolygon(0,0)(2.5,0)(2.5,2.5)(0,2.5)
\rput(-0.2,2.7){$A$}\rput(2.7,2.7){$B$}
\rput(2.7,-0.2){$C$}\rput(-0.2,-0.2){$D$}
\psline(0,2.5)(2.5,2)\rput(2.7,2){$I$}
\psline(2,0)(2.5,2.5)\rput(1.9,-0.25){$J$}
\end{pspicture}\]](Cours-IMG/52.png)
Démontrer que les droites
![$(AI)$](Cours-IMG/53.png)
![$(BJ)$](Cours-IMG/54.png)
Exercice 4
![$A$](Cours-IMG/64.png)
![$B$](Cours-IMG/65.png)
![$AB=3$](Cours-IMG/66.png)
- Déterminer l'ensemble
des points
du plan tels que
.
- Donner un point
de
tel que
.
Déterminer l'ensembledes points
du plan tels que
.
Formules de géométrie du triangle (quelconque)
On utilise par la suite les notations générales suivantes dans un triangle quelconque
![$ABC$](Cours-IMG/91.png)
![\begin{pspicture}(-.8,-1.6)(7,2.2)
\pspolygon[linewidth=0.8pt](0,0)(3,1.5)(6,-1)\put(-0.5,0.){$B$}\put(2.9,1.7){$A$}\put(6.2,-1){$C$}\psarc(0,0){0.8}{-9.5}{26.5}\put(1.1,0.1){$\beta$}\psarc(3,1.5){0.6}{207}{320}\put(2.8,0.55){$\alpha$}\psarc(6,-1){1}{140}{171}\put(4.6,-0.5){$\gamma$}\put(2.7,-0.9){$a$}\put(1.3,.95){$c$}\put(4.5,0.5){$b$}\end{pspicture}\]](Cours-IMG/92.png)
Théorème: Al-Kashi, ou Pythagore généralisé
Dans un triangle ![$ABC$](Cours-IMG/93.png)
![\[a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos\alpha \]](Cours-IMG/94.png)
Corollaire: Théorème de Pythagore (!)
![$ABC$](Cours-IMG/96.png)
![$A$](Cours-IMG/97.png)
![$a^2=b^2+c^2$](Cours-IMG/98.png)
Théorème: Aire d'un triangle et formule des sinus
L'aire d'un triangle ![$ABC$](Cours-IMG/107.png)
![\[\mathcal{A}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma
=\frac{1}{2}ac\sin\beta
=\frac{1}{2}bc\sin\alpha\]](Cours-IMG/108.png)
et on a de plus la formule des sinus
![\[\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}\]](Cours-IMG/109.png)
Exercice 5
Soit ![$ABC$](Cours-IMG/118.png)
![$AB=8$](Cours-IMG/119.png)
![$AC=6$](Cours-IMG/120.png)
![$\widehat{A}=120^\circ$](Cours-IMG/121.png)
Calculer toutes les longueurs et angles de ce triangle.
Voir aussi: