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Nombres complexes

Pour reprendre à la base, voir là par exemple.

Exercice 10

Écrire sous forme algébrique:
$A=\dfrac{3+6i}{3-4i}$ $B=\lp\dfrac{1+i}i\rp^3$ $C=\lp\dfrac{1+i}{2-i}\rp^2+\dfrac{1-7i}{4+3i}$ $D=\dfrac{2+5i}{1-i}+\dfrac{2-5i}{1+i}$

$A=-\dfrac35+\dfrac65i$

Voir là pour des précisions, d'autres exercices corrigés

Exercice 11

Écrire sous forme exponentielle:
$A=\sqrt6+i\sqrt2$ $B=\lp\sqrt6+i\sqrt2\rp^5$ $C=\dfrac3{1-i}$ $D=\dfrac{(1+i)^3}{1-i}+\dfrac{(1-i)^4}{(1-i)^2}$ $E=\dfrac{(\sqrt6-i\sqrt2)(1+i)}{1-i}$

$A=2\sqrt2e^{i\frac\pi6}$

$B=A^5=2^7\sqrt2e^{\dfrac{5i\pi}6}$

$C=\dfrac3{\sqrt2}e^{i\frac\pi4}$

$D=2\sqrt2e^{\frac{5i\pi}4}$

$E=2\sqrt2e^{i\frac\pi3}$

Exercice 12

On considère le nombre complexe $z=\lp\sqrt3+1\rp+i\lp\sqrt3-1\rp$ .

Ecrire sous forme algébrique.
Déterminer le module et la mesure principale de l'argument de .

$z^2=4\sqrt3+4i$
On a donc, $\left|z^2\right|=8=|z|^2$ donc $|z|=2\sqrt2$ .

Pour l'argument, $\arg\lp z^2\rp=2\arg(z)=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ , $k\in\Z$ . donc $\arg\lp z\rp=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ , d'où $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}$ ou $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}-\pi=-\dfrac{11\pi}{12}$ .
Comme la partie réelle de est positive $\lp\Re e(z)=\sqrt3+1\rp$ , on a nécessairement $\arg(z)=\dfrac{\pi}{12}$ .

Exercice 13

Pour quels entiers naturels

, $\lp\sqrt6+i\sqrt2\rp^n$ est-il réel ?

On passe par la forme exponentielle, et on obtient qu'il s'agit d'un nombre réel si et seulement si

est un multiple de 6.

Exercice 14

Montrer que, pour tous nombres complexes

, on a

$|z+z'|^2+|z-z'|^2=2\lp|z|^2+z'|^2\rp$

La définition $|z|^2=z\overline{z}$ , donc aussi $|z+z'|=(z+z')\overline{(z+z')}$ et $|z-z'|=\dots$ , permet de développer et de mener les calculs...

On peut aussi revenir à la forme algébrique