Réviser, approfondir son année de terminale
et préparer son entrée en prépa (et/ou ailleurs aussi)
Nombres complexes
Pour reprendre à la base, voir là par exemple.
Exercice 10
Écrire sous forme algébrique: ![$A=\dfrac{3+6i}{3-4i}$](doc-II-complexes-light-IMG/1.png)
![$B=\lp\dfrac{1+i}i\rp^3$](doc-II-complexes-light-IMG/2.png)
![$C=\lp\dfrac{1+i}{2-i}\rp^2+\dfrac{1-7i}{4+3i}$](doc-II-complexes-light-IMG/3.png)
![$D=\dfrac{2+5i}{1-i}+\dfrac{2-5i}{1+i}$](doc-II-complexes-light-IMG/4.png)
Exercice 11
Écrire sous forme exponentielle:![$A=\sqrt6+i\sqrt2$](doc-II-complexes-light-IMG/9.png)
![$B=\lp\sqrt6+i\sqrt2\rp^5$](doc-II-complexes-light-IMG/10.png)
![$C=\dfrac3{1-i}$](doc-II-complexes-light-IMG/11.png)
![$D=\dfrac{(1+i)^3}{1-i}+\dfrac{(1-i)^4}{(1-i)^2}$](doc-II-complexes-light-IMG/12.png)
![$E=\dfrac{(\sqrt6-i\sqrt2)(1+i)}{1-i}$](doc-II-complexes-light-IMG/13.png)
![$A=2\sqrt2e^{i\frac\pi6}$](doc-II-complexes-light-IMG/14.png)
![$B=A^5=2^7\sqrt2e^{\dfrac{5i\pi}6}$](doc-II-complexes-light-IMG/15.png)
![$C=\dfrac3{\sqrt2}e^{i\frac\pi4}$](doc-II-complexes-light-IMG/16.png)
![$D=2\sqrt2e^{\frac{5i\pi}4}$](doc-II-complexes-light-IMG/17.png)
![$E=2\sqrt2e^{i\frac\pi3}$](doc-II-complexes-light-IMG/18.png)
Exercice 12
On considère le nombre complexe ![$z=\lp\sqrt3+1\rp+i\lp\sqrt3-1\rp$](doc-II-complexes-light-IMG/19.png)
- Ecrire
sous forme algébrique.
- Déterminer le module et la mesure principale de l'argument de
.
-
- On a donc,
donc
.
Pour l'argument,,
. donc
, d'où
ou
.
Comme la partie réelle deest positive
, on a nécessairement
.
Exercice 13
Pour quels entiers naturels ![$n$](doc-II-complexes-light-IMG/33.png)
![$\lp\sqrt6+i\sqrt2\rp^n$](doc-II-complexes-light-IMG/34.png)
On passe par la forme exponentielle, et on obtient
qu'il s'agit d'un nombre réel si et seulement si
est un multiple de 6.
![$n$](doc-II-complexes-light-IMG/35.png)
Exercice 14
Montrer que, pour tous nombres complexes ![$z$](doc-II-complexes-light-IMG/36.png)
![$z'$](doc-II-complexes-light-IMG/37.png)
![\[|z+z'|^2+|z-z'|^2=2\lp|z|^2+z'|^2\rp\]](doc-II-complexes-light-IMG/38.png)
La définition
, donc aussi
et
,
permet de développer et de mener les calculs...
On peut aussi revenir à la forme algébrique
et
et calculer séparemment les deux côtés de l'égalité pour s'apercevoir qu'ils sont bien égaux.
![$|z|^2=z\overline{z}$](doc-II-complexes-light-IMG/39.png)
![$|z+z'|=(z+z')\overline{(z+z')}$](doc-II-complexes-light-IMG/40.png)
![$|z-z'|=\dots$](doc-II-complexes-light-IMG/41.png)
On peut aussi revenir à la forme algébrique
![$z=x+iy$](doc-II-complexes-light-IMG/42.png)
![$z'=x'+iy'$](doc-II-complexes-light-IMG/43.png)
Exercice 15
Déterminer l'ensemble des nombres complexes ![$z$](doc-II-complexes-light-IMG/44.png)
![\[[z-i|=|z+i|\]](doc-II-complexes-light-IMG/45.png)
![$z=x+iy$](doc-II-complexes-light-IMG/46.png)
![$x$](doc-II-complexes-light-IMG/47.png)
![$y$](doc-II-complexes-light-IMG/48.png)
Méthode algébrique: on aboutit à
qui est l'équation (de droite) de l'axe des abscisses
Méthode géométrique: on pose
,
et
, alors l'équation se réécrit géométriquement
et l'ensemble des points
recherchés est excatement la médiatrice de
qui est l'axe des abscisses.
![$y=0$](doc-II-complexes-light-IMG/49.png)
Méthode géométrique: on pose
![$M(z)$](doc-II-complexes-light-IMG/50.png)
![$A(i)$](doc-II-complexes-light-IMG/51.png)
![$B(-i)$](doc-II-complexes-light-IMG/52.png)
![$AM=BM$](doc-II-complexes-light-IMG/53.png)
![$M$](doc-II-complexes-light-IMG/54.png)
![$[AB]$](doc-II-complexes-light-IMG/55.png)
Voir aussi: