Géométrie dans l'espace


Coordonnées, vecteurs et géométrie analytique dans l'espace

Deux exercices pour se repérer

Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace

Dans l'espace, le principe de la repésentation paramétrique d'une droite est la même que pour la représentation paramétrique de droite du plan.

Définition
La droite $d$ passant par le point $A\lp x_A;y_A;z_A\rp$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\V{AM}=t\vec{u}$, $t\in\R$.
Autrement dit, $M(x;y;z)\in d$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\V{AM}=t\vec{u}$, c'est-à-dire tel que

\[\la\bgar{ll} x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z=z_A+tc \enar\right.\ , \ t\in\R\]


(ou "   $M=A+t\vec{u}$    " ).
Le système précédent est une représentation paramétrique de la droite $d$ ($t$ étant le paramètre de cette représentation).



Exercice 5
On considère la droite $d$ passant par $A(-2;3;1)$ et $B(5;2;-2)$.
  1. Donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $d$.
  2. Donner alors une représentation paramétrique de la droite $d$.
  3. Les points $M(-9;4;4)$ et $N(12;1;1)$ appartiennent-ils à cette droite ?


Exercice 6
On donne les points $A(1;-2;3)$ et $B(0;0;1)$.
  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
  2. Les points $C(-3;6;-5)$ et $D(2;-5;5)$ appartiennent-ils à cette droite ?


Exercice 7
Les droites $d$ et $d'$ définies par les représentations paramétriques suivantes sont-elles orthogonales ?
\[d: \la\bgar{cccccl} x&=&2t &-& 1 \\ y&=&-3t &+& 2\\ z&=&t && \enar\right.,\ t\in\R\]

et,
\[d': \la\bgar{cccccl} x&=&3t && \\ y&=&t &+& 2\\ z&=&-3t &-& 2 \enar\right.,\ t\in\R\]



Exercice 8
Démontrer que les droites $d$ et $d'$ définies par les représentations paramétriques sont sécantes:
\[d: \la\bgar{cccccl} x&=&5 &+& 3t \\ y&=&2 &+& t\\ z&=&1 &-& 4t \enar\right.,\ t\in\R\]

et,
\[d': \la\bgar{cccccl} x&=&-11 &+& 2t \\ y&=&10 &-& 2t\\ z&=&4 &+& t \enar\right.,\ t\in\R\]



Exercice 9
Soit $A(-1;1;2)$, $\vec{u}(1;0;1)$ et $\vec{v}\lp\dfrac12;-1;1\rp$.
  1. Écrire une représentation paramétrique du plan $(A;\vec{u},\vec{v})$
  2. Les points $B(1;2;3)$ et $C(0;-1;4)$ appartiennent-il à ce plan ?
  3. Déterminer l'intersection $d$ de ce plan et du plan $(O;\vec{i},\vec{j})$.
    Préciser un point et un vecteur directeur de $d$.



Voir aussi:
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