Géométrie dans l'espace

Trois exercices complets pour finir ("d'après Bac")


Exercice 24 (D'après Bac 2003)
L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives $A(3;-2;2)$, $B(6;1;5)$, $C(6;-2;-1)$ et $D(0;4;-1)$.
  1. Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
  2. Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
  3. Calculer le volume du trétraèdre $ABCD$.
  4. Montrer que l'angle géométrique $\widehat{BDC}$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$ en radians.


Exercice 25 (D'après Bac 2005)
Partie A. Soit $[KL]$ un segment de l'espace. On note $I$ son milieu. On appelle plan médiateur de $[KL]$ le plan perpendiculaire en $I$ à la droite $(KL)$.

Démontrer que le plan médiateur de $[KL]$ est l'ensemble des points de l'espace équidistants des points $K$ et $L$.

Partie B. Dans un RON, on considère les points $A(4;0;-3)$, $B(2;2;2)$.

Démontrer que le plan médiateur de $[AB]$ a pour équation $4x-4y-10z-13=0$.


Exercice 26
$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un RON. $\mathcal{S}$ est la sphère de centre $J(0;1;0)$ et de rayon 1. $u$ et $v$ sont deux réels, $M$ et $N$ sont les points définis par $\V{OM}=u\vec{k}$ et $\Vec{AN}=v\vec{i}$ où $A(0;2;0)$.
  1. Donner une équation de la sphère $\mathcal{S}$.
    1. Quelles sont les coordonnées des points $M$ et $N$ ?
    2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(MN)$.

  3. Montrer que la droite $(MN)$ est tangente à la sphère $\mathcal{S}$ si, et seulement si, $u^2v^2=4$.


Voir aussi:
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