Géométrie dans l'espace


Orthogonalité dans l'espace

Orthogonalité de deux droites


Définition
  • Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point quelconque sont perpendiculaires.
  • Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs directions, et donc vecteurs directeurs, sont orthogonaux.
  • Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.


Remarque: Dans l'espace, deux droites peuvent n'être ni parallèles ni sécantes (par exemple, les droites $(AE)$ et $(HG)$ dans le cube précédent).


Exemple/Exercice
Les droites $d$ et $d'$ définies par les représentations paramétriques suivantes sont-elles orthogonales ? perpendiculaires ?
\[d: \la\bgar{rcrcr} x&=&3&+&2t \\ y&=&2&-&3t\\ z&=&1&-&t \enar\right.,\ t\in\R\]

et,
\[d': \la\bgar{rcrcr} x&=&4&+&3t \\ y&=&-5&+&t\\ z&=&-4&+&3t \enar\right.,\ t\in\R\]
Correction
Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}(2;-3;-1)$ et un vecteur directeur de $d'$ est $\vec{v}(3;1;3)$. On a alors
\[\vec{u}\cdot\vec{v}=2\tm3+(-3)\tm1+(-1)\tm3=0\]

ce qui montre que ces vecteurs sont orthogonaux, comme les deux droites qu'ils dirigent.

Pour que ces droites soient perpendiculaires, il faut aussi qu'elles soient sécates. On cherche s'il existe un point $M(x;y;z)$ appartenant à l'intersection de ces deux droites, donc s'il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que
\[d: \la\bgar{cccrrrrcrcr} x&=&3&+&2t&=&4&+&3t' \\ y&=&2&-&3t&=&-5&+&t'\\ z&=&1&-&t&=&-4&+&3t' \enar\right.,\ t\in\R\]

La deuxième équation se réécrit $t'=7-3t$ qui donne, dans la première équation
\[\bgar{rll}&3+2t&=4+3t'\\ &&=4+3(7-3t)\\ \iff&11t&=22 \\ \iff&t&=2\enar\]

On en déduit que $t'=7-3t=1$, et ces valeurs conviennent aussi pour la troisième équation.
On a donc trouvé que ces deux droites sont perpendiculaires en $M(7;-4;-1)$.


Droites et plans perpendiculaires


Définition
Une droite est perpendiculaire à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

pspicture...\pspolygon[fillstyle=solid](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)


La définition précédente parle de l'orthogonalité avec toutes ls droites du plan, c''est-à-dire de l'orthogonalité à une infinité de droites.
En fait, un plan se défini à partir de seulement deux directions, ou vecteurs, et on peut donc résumer cette infinité de droites à seulement deux.

Propriété
Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est othogonale à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Démonstration
  • La condition est nécessaire. Si $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$, elle est orthogonale à toutes les droites de $\mathcal{P}$.
    En particulier, il existe deux droites de $\mathcal{P}$, non parallèles et orthogonales à $\mathcal{D}$ et $\vec{u}$ est donc orthogonal aux vecteurs directeurs de ces droites qui sont des vecteurs de $\mathcal{P}$ non colinéaires.
  • Réciproque: la condition est suffisante. Soit $\vec{v}$ et $\vec{w}$ deux vecteurs non colinéaires de $\mathcal{P}$ orthogonaux à $\vec{u}$.
    Alors, pour tout vecteur $\vec{z}$ de $\mathcal{P}$, les vecteurs $\vec{z}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires, et donc, il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que

    \[\vec{z}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}\]

    et on a alors,
    \[\bgar{ll}\vec{u}\cdot\vec{z} &=\vec{u}\cdot\lp \alpha\vec{v}+\beta\vec{w}\rp\\ &=\alpha\vec{u}\cdot\vec{v}+\beta\vec{u}\cdot\vec{w}\\ &=0\enar\]

    ce qui montre que $\vec{u}$ et $\vec{z}$ sont orthogonaux, et donc, $\vec{z}$ étant un vecteur quelconque de $\mathcal{P}$, que $\vec{u}$ est orthogonal à tout vecteur de $\mathcal{P}$.



Exercice 15
On considère dans un RON, les points $A(-1;-1;-1)$, $B(0;-2;0)$ et $C(-2;1;0)$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}(3;2;-1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$, et déterminer une équation de ce plan.


Vecteur normal à un plan et plans perpendiculaires


Propriété
Soit $\vec{n}$ un vecteur et $A$ un point de l'espace. L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\V{AM}\cdot\vec{n}=0$ est le plan de vecteur normal $\vec{n}$.
pspicture...


On obtient ainsi l'équation cartésienne d'un plan dans l'espace, complètement analogue à l'équation cartésienne d'une droite dans le plan de vecteur normal donné.


Corollaire
Dans un repère orthonormal, le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si, le plan $\mathcal{P}$ a une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$.
Démonstration
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $M(x;y;z)$ alors
$\V{AM}(x-x_A;y-y_A;z-z_A)$
et
$\V{AM}\cdot\vec{n}=a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)$
Ainsi,
$\V{AM}\cdot\vec{n}=0 \iff ax+by+cz+d=0$
en posant $d=-ax_A-bx_B-cx_C$.



Et enfin, comme pour l'orthogonalité de deux droites, pour deux plans il suffit de regarder leurs vecteurs orthogonaux:
Définition
Deux plans sont orthogonaux si et seulement leurs vecteurs normaux le sont.



Exercice 16
L'espace est muni d'un RON $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. $A$ est le point de coodonnées $(1;-5;7)$.
$\mathcal{L}$ est le plan d'équation cartésienne: $-2x+y+z-4=0$.
  1. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ tel que le projeté orthogonal de l'origine $O$ sur $\mathcal{P}$ soit le point $A$.
  2. Montrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont perpendiculaires.


Exercice 17
Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $2x-y+3z-1=0$, et le point $A$ a pour coordonnées $A(0;-1;-4)$. On note de plus $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.
  1. Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{n}$ normal à $\mathcal{P}$.
  2. Justifier l'existence d'un réel $k$ tel que $\V{AH}=k\vec{n}$.
    Traduire cette relation en termes de coordonnées.
  3. Déterminer $k$ en exprimant que $H$ appartient à $\mathcal{P}$.
    En déduire les coordonnées de $H$ et la distance $AH$ de $A$ au plan $\mathcal{P}$.



Voir aussi:
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