Représentation paramétrique des droites du plan
Prérequis
Avant propos: À voir, connaître aussi, avant:La notion vectorielle fondamentale pour tout ce qui suit: colinéarité de deux vecteurs.
Représentation paramétrique
La représentation paramétrique d'une droite permet de représenter algébriquement une droite à partir d'un vecteur directeur et d'un point de cette droite.
Soit
la droite de vecteur directeur 
et 
un point de cette droite.
![\[\psset{unit=1cm,arrowsize=9pt}
\begin{pspicture}(-1,-.6)(6,3)
\psplot{-1}{6}{.5 x mul}
\psline[linewidth=3pt,linecolor=green]{->}(0,0)(4,2)
\rput(0,0){$\tm$}\rput(0,.3){$A$}\rput(4,2){$\tm$}\rput(4,2.3){$M$}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(2,1)\rput(1.1,0.9){\blue$\V{u}$}
\end{pspicture}\]](Cours-param-IMG/4.png)
La droite
est l'ensemble des points 
tels que,
et 
colinéaires, c'est-à-dire tels que
ces vecteurs sont proportionnels:
il existe un réel 
tel que
.
Cette écriture est la représentation paramétrique de la droite,
étant le paramètre. On peut écrire aussi cette représentation avec des coordonnées,
Définition
Soit une droite passant par 
et de vecteur directeur 
.
On appelle représentation paramétrique de
,
![\[\bgar{ll}&{\blue\V{AM}}=t{\red\vec{u}}\ , \ t\in\R\\[.8em]
\iff&\la\bgar{rcl}
{\blue x-x_A}&=&t{\red a}\\
{\blue y-y_A}&=&t{\red b}\enar\right. \ , \ t\in\R\\[1.6em]
\iff&\la\bgar{rcl}
x&=&x_A+ta\\
y&=&y_A+tb\enar\right. \ , \ t\in\R\\
\enar\]](Cours-param-IMG/16.png)
Exercices corrigés
Exercice 1
Soit la droite de représentation paramétrique
![\[\la\bgar{rcl}
x&=&2+3t\\
y&=&1-5t\enar\right. \ , \ t\in\R\]](Cours-param-IMG/17.png)
Donner un point et un vecteur directeur directeur de cette droite.
Exercice 2
Donner la représentation paramétrique de la droite passant par 
et 
.
Exercice 3
Donner une équation cartésienne de la droite
de représentation paramétrique
![\[\la\bgar{rcl}
x&=&2+3t\\
y&=&1-5t\enar\right. \ , \ t\in\R\]](Cours-param-IMG/30.png)
Exercice 4
Les droites de représentations paramétriques
![\[d_1:\la\bgar{rcl}
x&=&2+3t\\
y&=&1-5t\enar\right. \ , \ t\in\R\]](Cours-param-IMG/40.png)
et
![\[d_2:\la\bgar{rcl}
x&=&3+2t\\
y&=&-1-2t\enar\right. \ , \ t\in\R\]](Cours-param-IMG/41.png)
sont-elles sécantes ?
Donner alors leur point d'intersection.
Voir aussi