Géométrie dans l'espace


Intersection de plans et de droites dans l'espace

Intersection de deux plans


Propriété
Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ deux plans de l'espace. Alors, trois cas sont possibles:
  1. $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont strictement parallèles: ils n'ont aucun point commun
    pspicture...

  2. $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont sécants suivant une droite $d$
    pspicture...

  3. $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont confondus: leur intersection est un plan
    pspicture...\pspolygon[fillstyle=solid](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)


Propriété
Algébriquement, si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ ont pour équation respective $ax+by+cz+d=0$ et $a'x+b'y+c'z+d'=0$, leur intersection est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que
\[\la\bgar{ccccccccc} ax &+& by &+& cz &+& d &=& 0\\ a'x &+& b'y &+& c'z &+& d'&=& 0 \enar\right.\]


Si les plans sont sécants (cas 2.), le système est alors un système d'équations cartésiennes représentant la droite $d$.
pspicture...


Remarque: dans l'espace une équation cartésienne décrit un plan. Pour décrire une droite, il faut deux équations cartésiennes.

Exercice 18
  1. Le système
    \[\la\bgar{rccccrrcc} 2x &-& y &+& 3z &-& 1 &=& 0\\ x &+& y &-& 4z &-& 6&=& 0 \enar\right.\]

    est-il un système d'équations cartésiennes d'une droite $d$ ?
  2. Déterminer $x$ et $y$ en fonction de $z$, puis en déduire une équation paramétrique de $d$, en introduisant le paramètre $t=z$.
    Donner alors un point et un vecteur directeur de $d$.


Exercice 19
Dans un RON, les plans $\mathcal{P}$, $\mathcal{L}$ et $\mathcal{R}$ ont pour équations cartésiennes
\[\mathcal{P}:\ x+y+z+3=0\]


\[\mathcal{L}:\ 2x+2y+2z+7=0\]

et
\[\mathcal{R}:\ 3x-y+2=0\]


Etudier l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$, puis des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$.


Intersection d'une droite et d'un plan


Propriété
Soit $d$ une droite et $\mathcal{P}$ un plan de l'espace. Alors, trois cas sont possibles:
  1. $d$ et $\mathcal{P}$ sont strictement parallèles: ils n'ont aucun point commun
    pspicture...

  2. $d$ et $\mathcal{P}$ sont sécants en un unique point $A$
    pspicture...

  3. $d$ est contenue dans $\mathcal{P}$: leur intersection est la droite $d$
    pspicture...




Exercice 20
Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $5x+y-z+3=0$ et la droite $d$ pour représentation paramétrique
\[\la\bgar{ll} x=t\\ y=1-6t \\ z=3-t \enar\right.,\ t\in\R\]

Déterminer l'intersection de $d$ et $\mathcal{P}$.


Exercice 21
Les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées respectives $(2;-1;5)$ et $(-1;2;3)$.
Etudier l'intersection de la droite $(AB)$ avec le plan $\mathcal{P}$ d'équation $5x-3y-z=1$.



Voir aussi:
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