Géométrie dans l'espace
Intersection de plans et de droites dans l'espace
Intersection de deux plans
Propriété
Soit ![$\mathcal{P}$](Cours-IMG/488.png)
![$\mathcal{L}$](Cours-IMG/489.png)
-
et
sont strictement parallèles: ils n'ont aucun point commun
-
et
sont sécants suivant une droite
-
et
sont confondus: leur intersection est un plan
Propriété
Algébriquement,
si les plans ![$\mathcal{P}$](Cours-IMG/500.png)
![$\mathcal{L}$](Cours-IMG/501.png)
![$ax+by+cz+d=0$](Cours-IMG/502.png)
![$a'x+b'y+c'z+d'=0$](Cours-IMG/503.png)
![$M(x;y;z)$](Cours-IMG/504.png)
![\[\la\bgar{ccccccccc}
ax &+& by &+& cz &+& d &=& 0\\
a'x &+& b'y &+& c'z &+& d'&=& 0
\enar\right.\]](Cours-IMG/505.png)
Si les plans sont sécants (cas 2.), le système est alors un système d'équations cartésiennes représentant la droite
![$d$](Cours-IMG/506.png)
![pspicture...](Cours-IMG/507.png)
Remarque: dans l'espace une équation cartésienne décrit un plan. Pour décrire une droite, il faut deux équations cartésiennes.
Exercice 18
- Le système
est-il un système d'équations cartésiennes d'une droite?
- Déterminer
et
en fonction de
, puis en déduire une équation paramétrique de
, en introduisant le paramètre
.
Donner alors un point et un vecteur directeur de.
Exercice 19
Dans un RON, les plans ![$\mathcal{P}$](Cours-IMG/527.png)
![$\mathcal{L}$](Cours-IMG/528.png)
![$\mathcal{R}$](Cours-IMG/529.png)
![\[\mathcal{P}:\ x+y+z+3=0\]](Cours-IMG/530.png)
![\[\mathcal{L}:\ 2x+2y+2z+7=0\]](Cours-IMG/531.png)
et
![\[\mathcal{R}:\ 3x-y+2=0\]](Cours-IMG/532.png)
Etudier l'intersection des plans
![$\mathcal{P}$](Cours-IMG/533.png)
![$\mathcal{L}$](Cours-IMG/534.png)
![$\mathcal{P}$](Cours-IMG/535.png)
![$\mathcal{R}$](Cours-IMG/536.png)
Intersection d'une droite et d'un plan
Propriété
Soit ![$d$](Cours-IMG/558.png)
![$\mathcal{P}$](Cours-IMG/559.png)
-
et
sont strictement parallèles: ils n'ont aucun point commun
-
et
sont sécants en un unique point
-
est contenue dans
: leur intersection est la droite
Exercice 20
Dans un RON, le plan ![$\mathcal{P}$](Cours-IMG/571.png)
![$5x+y-z+3=0$](Cours-IMG/572.png)
![$d$](Cours-IMG/573.png)
![\[\la\bgar{ll}
x=t\\
y=1-6t \\
z=3-t
\enar\right.,\ t\in\R\]](Cours-IMG/574.png)
Déterminer l'intersection de
![$d$](Cours-IMG/575.png)
![$\mathcal{P}$](Cours-IMG/576.png)
Exercice 21
Les points ![$A$](Cours-IMG/585.png)
![$B$](Cours-IMG/586.png)
![$(2;-1;5)$](Cours-IMG/587.png)
![$(-1;2;3)$](Cours-IMG/588.png)
Etudier l'intersection de la droite
![$(AB)$](Cours-IMG/589.png)
![$\mathcal{P}$](Cours-IMG/590.png)
![$5x-3y-z=1$](Cours-IMG/591.png)
Intersection de trois plans
Voir aussi: