Variation d'une fonction rationnelle (bis)

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Déterminer la fonction dérivée $f'$, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=\dfrac{5x+4}{5x^2+4}$.
On ne cherchera pas à calculer les valeurs des extrema locaux.


Correction

Correction

$f$ est le quotient de $u:x\mapsto 5x+4$ et $v:x\mapsto 5x^2+4$ qui sont dérivables sur $\R$, avec $v(x)\not=0$ pour tout $x$ réel. Ainsi, $f$ est dérivable sur $\R$ avec, pour tout $x\in\R$,
\[f'(x) =\dfrac{5\lp5x^2+4\rp-\lp5x+4\rp(10x)}{\lp5x^2+4\rp^2} =\dfrac{-25x^2-40x+20}{\lp5x^2+4\rp^2} =5\dfrac{-5x^2-8x+4}{\lp5x^2+4\rp^2} \]

Le discriminant du trinôme du numérateur est $\Delta=64+80=144=12^2>0$.

Il admet donc deux racines réelles distinctes: $x_1=\dfrac{8-12}{-10}=\dfrac{2}{5}$ et $x_2=\dfrac{8+12}{-10}=-2$.
De plus, pour tout réel $x$, $x^2\geqslant 0$, donc $5x^2\geqslant 0$ et ainsi $5x^2+4\geqslant 4>0$, d'où $\lp5x^2+4\rp^2>0$.

\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline \rule[-0.4cm]{0.cm}{1.1cm}$x$ &$-\infty$ && $-2$ && $\dfrac25$ && $+\infty$ \\\hline \rule[-0.2cm]{0.cm}{0.7cm} $-5x^2-8x+4$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$-$&\\\hline $\lp5x^2+4\rp^2$ && $+$ &$|$&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\zb&$-$&\\\hline &&&&&&&\\ $f$&&\psline{->}(-.4,.4)(.5,-.5)&& \psline{->}(-.4,-.5)(.5,.4)&& \psline{->}(-.4,.4)(.5,-.5)&\\ &&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]



Tag:Fonctions et dérivées

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