Variations et tangente parallèle à une droite

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2+2}{2x+1}$
  1. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$, son tableau de signe, puis les variations de $f$.
  2. Soit la droite $D:y=\dfrac12x$. Déterminer les éventuels points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à $D$.



Correction

Correction

  1. $f(x)=\dfrac{x^2+2}{2x+1}$, donc $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2+2$ donc $u'(x)=2x$ et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$ et ainsi $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit $f'(x)=\dfrac{2x(2x+1)-(x^2+2)2}{(2x+1)^2} =\dfrac{2x^2+2x-4}{(2x+1)^2} =2\dfrac{x^2+x-2}{(2x+1)^2}$
    Le numérateur, $x^2+x-2$ est un trinôme du second degré de racine évidente $x_1=1$ et, comme $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2$, la deuxième racine est $x_2=-2$ on peut alors dresser le tableau de signe, puis de variation:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-1/2$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline $x^2+x-2$ & &$+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & $|$ & $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$& \\\hline $(2x+1)^2$ & &$+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$& \\\hline $f'(x)$ & &$+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & & $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$& \\\hline &&&$-2$&&&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \psline(-.03,-.7)(-.03,1.4)\psline(.03,-.7)(.03,1.4)&\Large{$\searrow$}& &\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&1&&\\\hline \end{tabular}\]


  2. La tangente est parallèle à $D$ lorsque son coefficient directeur $f'(x)$ est égal à celui de $D$, donc lorsque $f'(x)=1$, soit
    \[\begin{array}{ll} f'(x)&=2\dfrac{x^2+x-2}{(2x+1)^2}=\dfrac12\\[.9em] \iff&4\left( x^2+x-2\rp=(2x+1)^2\\[.6em] \iff&4x^2+4x-8 = 4x^2+4x+1\\[.6em] \iff&9=0 \enar\]


    Il y n'a donc pas de point où la tangente est parallèle à $D$.


Tag:Fonctions et dérivées

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