Variation d'une fonction inverse d'un trinome et équation d'une tangente

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Énoncé

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac3{x^2-4x+3}$.

Soit $A$ le point de la courbe de $f$ et d'abscisse nulle. Déterminer les coordonnées de $A$ et l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $A$.


Correction

Correction

Soit $f(x)=\dfrac3{x^2-4x+3}$. On a $f=3\tm\dfrac1u$ avec $u(x)=x^2-4x+3$ et donc $u'(x)=2x-4$.
On trouve alors $f'=3\tm\dfrac{-u'}{u^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{-3(2x-4)}{(x^2-4x+3)^2}$
Pour le dénominateur, on a $(x^2-4x+3)^2\geqslant0$, avec le trinôme $x^2-4x+3$ qui a pour discriminant $\Delta=4>0$ et qui admet donc deux racines réelles distinctes $x_1=1$ et $x_2=3$.
On dresse alors le tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && 1 && 2 && 3 && $+\infty$ \\\hline $-3$ && $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &$|$ & $-$ &\\\hline $2x-4$ && $-$ &$|$ &$-$ &\zb& $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $(x^2-4x+3)^2$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$ &$|$& $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ &\\\hline $f'(x)$ && $+$ & &$+$ &\zb& $-$ & & $-$ &\\\hline &&&&&$-3$&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\psline(0,-.6)(0,1.3)\,\psline(0,-.6)(0,1.3)&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]




On a $A(0;f(0))$, soit $A(0;1)$. La tangente en $A$ a pour équation
\[y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac43x+1\]



Tag:Fonctions et dérivées

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