Tangentes à une parabole issues d'un point extérieur

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Soit $ f$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par $ f(x)=x^2+2x+1$ et $ \mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

  1. Prouver que la tangente à $ \mathcal{C}$ au point $ M$ d'abscisse $ a$ , a pour équation $ y=2(a+1)x-a^2+1$
  2. Déterminer les équations réduites des tangentes à $ \mathcal{C}$ passant par le point $ A(0;-1)$ .

Correction
  1. La tangente au point $ M$ de $ \mathcal{C}$ d'avscisse $ a$ admet pour équation: $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

    On a $ f(a)=a^2+2a+1$ , et comme pour tout $ x$ réel, $ f'(x)=2x+2$ , soit $ f(a)=2a+2=2(a+1)$ .

    Ainsi, l'équation de la tangente est:

    \begin{displaymath}\begin{array}{ll} y &=2(a+1)(x-a)+\left(a^2+2a+1\right)\vsp... ...(a+1)+a^2+2a+1 \vspace{0.2cm}\\ &=2(a+1)x-a^2+1 \end{array} \end{displaymath}

  2. Les tangentes passant par $ A(0;-1)$ vérifient donc,

    $\displaystyle -1=2(a+1)\times 0-a^2+1 \iff a^2=2 \iff a=-\sqrt{2}$ ou $\displaystyle a=\sqrt{2} $

    Ainsi les deux équations des tangentes sont:

    $\displaystyle y=2(-\sqrt{2}+1)x-1$   et$\displaystyle \quad y=2(\sqrt{2}+1)x-1 $

    $\displaystyle \psset{arrowsize=6pt,xunit=1cm,yunit=0.5} \begin{pspicture}(-4,-... ...1 sub} \psplot{-0.7}{3.2}{2 0.5 exp 1 add 2 mul x mul 1 sub} \end{pspicture} $



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